Построить траектории на фазовой плоскости для системы уравнений. Исследовать особые точки системы

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения (Качественный анализ систем)

Задача:

Необходимо:

1. Построить траектории на фазовой плоскости для системы уравнений: \dot{x} = xy - 4,
   \dot{y} = (x - 4)(y - x).
2. Исследовать особые точки системы.

Решение:

1. Найдем особые точки системы.

Особые точки определяются из условий \dot{x} = 0 и \dot{y} = 0.

1.1. Условие \dot{x} = 0:
xy - 4 = 0 \implies xy = 4.

1.2. Условие \dot{y} = 0:
(x - 4)(y - x) = 0.
Это дает два случая:

• x - 4 = 0 \implies x = 4;
• y - x = 0 \implies y = x.

Теперь совместим эти условия:

• Если x = 4, то xy = 4 \implies 4y = 4 \implies y = 1.
  Таким образом, одна особая точка: (4, 1).
• Если y = x, то xy = 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.
  Таким образом, еще две особые точки: (2, 2) и (-2, -2).

Итак, особые точки: (4, 1), (2, 2), (-2, -2).

2. Тип особых точек.

Для определения типа особых точек найдем якобиан (матрицу частных производных) системы в общем виде.

Матрица Якоби:  J = \begin{pmatrix} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} \ \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} \end{pmatrix}. 

Найдем частные производные:

• \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} = x.
• \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} = (y - x) + (x - 4), \quad \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} = x - 4.

Итак,
 J = \begin{pmatrix} y & x \ y - x + x - 4 & x - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & x \ y - 4 & x - 4 \end{pmatrix}. 

Теперь подставим координаты каждой особой точки и найдем собственные значения матрицы Якоби для определения их типа.

Для точки (4, 1):

Подставляем x = 4, y = 1 в матрицу Якоби:  J = \begin{pmatrix} 1 & 4 \ -3 & 0 \end{pmatrix}. 

Найдем собственные значения: \lambda^2 - \text{Tr}(J) \cdot \lambda + \det(J) = 0,
где \text{Tr}(J) = 1 + 0 = 1, \det(J) = 1 \cdot 0 - (-3) \cdot 4 = 12.

Характеристическое уравнение: \lambda^2 - \lambda + 12 = 0.
Дискриминант: D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = -47 < 0.
Корни комплексные, следовательно, точка (4, 1) — устойчивый или неустойчивый фокус (в зависимости от знака вещественной части корней).

Для точки (2, 2):

Подставляем x = 2, y = 2 в матрицу Якоби:  J = \begin{pmatrix} 2 & 2 \ -2 & -2 \end{pmatrix}. 

Найдем собственные значения: \lambda^2 - \text{Tr}(J) \cdot \lambda + \det(J) = 0,
где \text{Tr}(J) = 2 - 2 = 0, \det(J) = 2 \cdot (-2) - (-2) \cdot 2 = 0.

Характеристическое уравнение: \lambda^2 = 0.
Корень: \lambda = 0.
Точка (2, 2) является особой вырожденной точкой.

Для точки (-2, -2):

Подставляем x = -2, y = -2 в матрицу Якоби:  J = \begin{pmatrix} -2 & -2 \ -6 & -6 \end{pmatrix}. 

Найдем собственные значения: \lambda^2 - \text{Tr}(J) \cdot \lambda + \det(J) = 0,
где \text{Tr}(J) = -2 - 6 = -8, \det(J) = (-2) \cdot (-6) - (-2) \cdot (-6) = 0.

Характеристическое уравнение: \lambda^2 + 8\lambda = 0.
Корни: \lambda_1 = 0, \lambda_2 = -8.
Точка (-2, -2) является седлом.

3. Построение фазового портрета.

На фазовой плоскости:

• Точка (4, 1) — фокус, траектории закручиваются вокруг нее.
• Точка (2, 2) — вырожденная особая точка.
• Точка (-2, -2) — седло, траектории расходятся вдоль одной оси и сходятся вдоль другой.

Фазовый портрет можно построить с помощью программного обеспечения, например, Python (Matplotlib) или MATLAB.