Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
y = 1/(x+2) + C, y' - x + 2 = 0, M(2; -2). Построить интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку M.
Нам дано дифференциальное уравнение в следующем виде:
\[ y = \frac{1}{x+2} + C \] \[ y' - x + 2 = 0 \]Во-первых, запишем производную функции \( y \):
\[ y = \frac{1}{x+2} + C \]Производная этой функции:
\[ y' = -\frac{1}{(x+2)^2} \]Теперь подставим это значение в дифференциальное уравнение:
\[ -\frac{1}{(x+2)^2} - x + 2 = 0 \]Упростим уравнение:
\[ -\frac{1}{(x+2)^2} = x - 2 \] \[ -1 = (x-2)(x+2)^2 \]Размножим правую часть уравнения:
\[ -1 = x(x+2)^2 - 2(x+2)^2 \]Нам дана точка \( M(2; -2) \). Используя это, мы найдем константу \( C \).
Подставим \( x = 2 \) и \( y = -2 \) в уравнение:
\[ -2 = \frac{1}{2 + 2} + C \] \[ -2 = \frac{1}{4} + C \] \[ C = -2 - \frac{1}{4} \] \[ C = -\frac{8}{4} - \frac{1}{4} \] \[ C = -\frac{9}{4} \]Теперь мы можем записать уравнение с найденной константой:
\[ y = \frac{1}{x+2} - \frac{9}{4} \]Мы получили уравнение интегральной кривой, которое является функцией \( y(x) \):
\[ y = \frac{1}{x+2} - \frac{9}{4} \]Проверим, что точка \( M(2; -2) \) действительно лежит на кривой:
\[ y(2) = \frac{1}{2 + 2} - \frac{9}{4} = \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{8}{4} = -2 \]Да, точка \( M \) удовлетворяет функции \( y \).
Интегральная кривая, проходящая через точку \( M(2; -2) \), описывается функцией:
\[ y = \frac{1}{x+2} - \frac{9}{4} \]Эту кривую можно построить с помощью программы для графического построения функций, например, в математическом пакете типа Mathematica или с помощью графического калькулятора.