Построить график функции

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра, исследование функций

Задана функция: \[ y = \frac{4x^3 + 5}{x}. \]

1. Упростим функцию

Для начала разделим числитель на знаменатель, чтобы упростить вид функции:

\[ y = \frac{4x^3}{x} + \frac{5}{x} = 4x^2 + \frac{5}{x}. \]

Теперь функция выглядит как:

\[ y = 4x^2 + \frac{5}{x}. \]

2. Домен функции (область определения)

Определим, при каких значениях \( x \) функция существует. Дробь \(\frac{5}{x}\) делает функцию неопределенной при \( x = 0 \). Следовательно:

\[ x \neq 0. \]

Область определения (ОДЗ): \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

3. Найдем точки пересечения с координатными осями

Пересечение с осью \(Oy\):

Для пересечения с осью \(Oy\) подставляем \(x = 0\). Однако это невозможно, так как \(x \neq 0\). Следовательно, пересечения с \(Oy\) нет.

Пересечение с осью \(Ox\):

Для пересечения с \(Ox\) подставляем \(y = 0\). Решаем уравнение:

\[ 4x^2 + \frac{5}{x} = 0. \]

Умножаем на \(x\) (с учетом, что \(x \neq 0\)):

\[ 4x^3 + 5 = 0. \]

\[ x^3 = -\frac{5}{4}. \]

\[ x = -\sqrt[3]{\frac{5}{4}}. \]

Пересечение с \(Ox\): \(x = -\sqrt[3]{\frac{5}{4}}\).

4. Поведение функции при \(x \to \pm\infty\)

Исследуем функцию на бесконечностях.

• При \(x \to +\infty\):

\[ 4x^2 \to +\infty, \quad \frac{5}{x} \to 0, \quad \text{следовательно, } y \to +\infty. \]

• При \(x \to -\infty\):

\[ 4x^2 \to +\infty, \quad \frac{5}{x} \to 0, \quad \text{следовательно, } y \to +\infty. \]

5. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: \(x = 0\), так как при \(x \to 0\) значению \(\frac{5}{x}\) стремится к бесконечности.
• Горизонтальная асимптота: отсутствует, так как высшая степень \(4x^2\) задает рост функции при больших значениях \(x\).

6. Производная функции

Найдем производную функции, чтобы исследовать поведение на возрастание и убывание:

\[ y = 4x^2 + \frac{5}{x}. \]

Её производная:

\[ y' = 8x - \frac{5}{x^2}. \]

7. Построение графика

После анализа \(y'\), вам следует обработать интервалы возрастания и убывания и построить график на основе всех выявленных характеристик.