Построить фазовые траектории. Исследовать особые точки системы

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения (Фазовые траектории и особые точки)

Дана система дифференциальных уравнений:  \begin{cases} \dot{x} = xy - 4, \ \dot{y} = (x - 4)(y - x). \end{cases} 

Требуется:

1. Построить фазовые траектории.
2. Исследовать особые точки системы.

Шаг 1. Найдем особые точки системы

Особые точки определяются из условия:  \dot{x} = 0, \quad \dot{y} = 0. 

Уравнение для \dot{x} = 0:

 xy - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad xy = 4. 

Уравнение для \dot{y} = 0:

 (x - 4)(y - x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \quad \text{или} \quad y = x. 

Теперь решим систему:

1. Если x = 4, то из xy = 4 получаем: 4y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 1.
   Особая точка: (4, 1).

2. Если y = x, то из xy = 4 получаем: x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2, \, y = \pm 2.
   Особые точки: (2, 2) и (-2, -2).

Итак, особые точки: (4, 1), \, (2, 2), \, (-2, -2).

Шаг 2. Исследуем тип особых точек

Для этого найдем якобиан системы:  J(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} \ \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} \end{bmatrix}. 

Частные производные:

1. \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} = x.
2. \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} = (y - x) + (x - 4), \quad \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} = x - 4.

Итак:  J(x, y) = \begin{bmatrix} y & x \ y - x + x - 4 & x - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y & x \ y - 4 & x - 4 \end{bmatrix}. 

Для каждой особой точки:

1. Точка (4, 1):** Подставляем x = 4, \, y = 1 в якобиан:  J(4, 1) = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ -3 & 0 \end{bmatrix}.  Собственные значения \lambda определяются из характеристического уравнения:  \det(J - \lambda I) = 0 \quad \Rightarrow \quad \det\begin{bmatrix} 1 - \lambda & 4 \ -3 & -\lambda \end{bmatrix} = 0.  Решаем:  (1 - \lambda)(-\lambda) - (-12) = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2 - \lambda - 12 = 0.  Корни: \lambda_1 = 4, \, \lambda_2 = -3.
   Так как один корень положительный, а другой отрицательный, точка (4, 1) — седло**.

2. Точка (2, 2):** Подставляем x = 2, \, y = 2 в якобиан:  J(2, 2) = \begin{bmatrix} 2 & 2 \ -2 & -2 \end{bmatrix}.  Характеристическое уравнение:  \det\begin{bmatrix} 2 - \lambda & 2 \ -2 & -2 - \lambda \end{bmatrix} = 0.  Решаем:  (2 - \lambda)(-2 - \lambda) - (-4) = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2 = 0.  Корни: \lambda_1 = \lambda_2 = 0.
   Точка (2, 2) — особая вырожденная**.

3. **Точка (-2, -2):** Аналогично находим, что точка также вырожденная. --- ### Шаг 3. Построение фазовых траекторий Фазовые траектории строятся графически с учетом поведения системы в окрестностях особых точек. Основные особенности: 1. В точке (4, 1) траектории расходятся вдоль оси седла.

4. Точки (2, 2) и (-2, -2) требуют дополнительного анализа для уточнения поведения.

Для построения фазовых траекторий используется численное моделирование или программное обеспечение (например, Python, MATLAB).