Определите вид общего решения дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами)

Рассмотрим заданное дифференциальное уравнение:

y'' + 2y' + 2 = 0

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, но обратим внимание: оно не является однородным, поскольку свободный член 2 — это постоянная, а не функция, зависящая от y или его производных.

Однако, если бы уравнение было записано как:

y'' + 2y' + 2y = 0 — оно было бы однородным.

Но в нашем случае:

y'' + 2y' + 2 = 0

Чтобы решить его, сначала перепишем его в виде:

y'' + 2y' = -2

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Шаг 1: Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение:

y'' + 2y' = 0

Решим его с помощью характеристического уравнения:

r^2 + 2r = 0

Вынесем r за скобку:

r(r + 2) = 0

Отсюда корни:

r_1 = 0, r_2 = -2

Следовательно, общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = C_1 + C_2 e^{-2x}

Шаг 2: Найдём частное решение неоднородного уравнения

Рассмотрим уравнение:

y'' + 2y' = -2

Найдем частное решение y_p(x) методом неопределённых коэффициентов.

Поскольку правая часть — это константа -2, попробуем частное решение в виде:

y_p(x) = A, где A — постоянная.

Подставим в уравнение:

y_p'' + 2y_p' = 0 + 0 = 0

А правая часть — -2, не совпадает.

Значит, нужно попробовать линейную функцию:

y_p(x) = Ax + B

Тогда:

• y_p' = A
• y_p'' = 0

Подставим в уравнение:

0 + 2A = -2 → A = -1

Тогда y_p(x) = -x + B

Это и есть частное решение.

Шаг 3: Общее решение исходного уравнения

Общее решение неоднородного уравнения — это сумма общего решения однородного и частного решения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{-2x} - x + B

Поскольку C_1 и B — произвольные постоянные, мы можем объединить их в одну:

Пусть C = C_1 + B, тогда:

y(x) = C + C_2 e^{-2x} - x

Ответ:

Общее решение уравнения y'' + 2y' + 2 = 0:

y(x) = C_1 + C_2 e^{-2x} - x, где C_1 и C_2 — произвольные постоянные.