Определите тип уравнения, решите уравнение

Условие:

Определите тип уравнения, решите уравнение и укажите ответ. y(4)+6y''+9y=0. Выберите один или несколько ответов: 

Решение:

Это линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы решить такое уравнение, нужно найти характеристическое уравнение, которое получается заменой y^(n) на λ^n, где n - порядок производной. В данном случае, у нас есть: λ^4 + 6λ^2 + 9 = 0 Это характеристическое уравнение можно упростить, заметив, что это квадратное уравнение относительно λ^2: (λ^2)^2 + 6(λ^2) + 9 = 0 Пусть μ = λ^2, получаем: μ^2 + 6μ + 9 = 0 Решая уравнение по формуле для квадратных уравнений: μ = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) где a = 1, b = 6 и c = 9, находим: μ = (-6 ± √(36 - 4 * 1 * 9)) / (2 * 1) μ = (-6 ± √(36 - 36)) / 2 μ = (-6 ± 0) / 2 μ = -3 Так как у нас два одинаковых корня μ = -3, это значит, что λ^2 = -3 имеет два одинаковых корня. Теперь найдем λ: λ = ±√(-3) Получаем два мнимых корня: λ = √3i и λ = -√3i. Поскольку оба корня мнимые и каждый из них имеет кратность 2, общее решение дифференциального уравнения будет комбинацией синусов и косинусов с аргументом √3x, а также x умноженного на эти функции из-за кратности корней: y = C1*cos(√3x) + C2*sin(√3x) + C3*x*cos(√3x) + C4*x*sin(√3x) Ответ: y = C1*cos(√3x) + C2*sin(√3x) + C3*x*cos(√3x) + C4*x*sin(√3x) Это соответствует второму варианту ответа.