Определите тип дифференциального уравнения y′′+py′+qy=x2

Это задание по предмету "Дифференциальные уравнения", который является разделом высшей математики.

Данное уравнение имеет вид: \[ y'' + py' + qy = x^2 \]

1. Определение типа уравнения:

• Рассмотрим общее уравнение второго порядка \( y'' + py' + qy = f(x) \), где \( f(x) \) является известной функцией от \( x \).
• В данном случае, \( f(x) = x^2 \). Такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами \( p \) и \( q \), где \( f(x) = x^2 \) является правой частью уравнения.

2. Решение уравнения:

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, нужно:

1. Найти общее решение соответствующего однородного уравнения.
2. Найти частное решение неоднородного уравнения.

2.1. Решение однородного уравнения:

Однородное уравнение имеет вид: \[ y'' + py' + qy = 0 \]

Для его решения составим характеристическое уравнение: \[ r^2 + pr + q = 0 \]

Решим это квадратное уравнение: \[ r = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \]

В зависимости от дискриминанта \( \Delta = p^2 - 4q \), возможны три случая:

• Если \( \Delta > 0 \), корни \( r_1 \) и \( r_2 \) действительные и разные \(\left(r_1 \neq r_2\right)\).
• Если \( \Delta = 0 \), корни \( r_1 \) и \( r_2 \) действительные и совпадают \(\left(r_1 = r_2\right)\).
• Если \( \Delta < 0 \), корни \( r_1 \) и \( r_2 \) комплексные.

В зависимости от типа корней общее решение однородного уравнения будет следующим:

• Для действительных корней (\( \Delta > 0 \)): \[ y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \]
• Для совпадающих корней (\( \Delta = 0 \)): \[ y_h = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x} \]
• Для комплексных корней (\( \Delta < 0 \), \( r_{1,2} = \alpha \pm \beta i\)): \[ y_h = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \]

2.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения:

Для нахождения частного решения \( y_p \), учитываем особенность правой части \( f(x) = x^2 \).

Пробуем частное решение в виде многочлена второй степени: \[ y_p = Ax^2 + Bx + C \]

Подставим \( y_p \) в уравнение \[ y'' + py' + qy = x^2 \]:

Вычислим производные: \[ y_p' = 2Ax + B \] \[ y_p'' = 2A \]

Подставим в уравнение: \[ 2A + p(2Ax + B) + q(Ax^2 + Bx + C) = x^2 \]

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \( x \) с обеих сторон уравнения:

• Для \( x^2 \): \[ qA = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{q} \]
• Для \( x \): \[ 2Ap + qB = 0 \Rightarrow B = -\frac{2Ap}{q} = -\frac{2A p}{q} = -\frac{2p}{q^2} \]
• Для свободного члена: \[ 2A + pB + qC = 0 \Rightarrow 2\frac{1}{q} + p\left(-\frac{2p}{q^2}\right) + qC = 0 \Rightarrow \frac{2}{q} - \frac{2p^2}{q^2} + qC = 0 \]

Умножим на \( q \) для упрощения: \[ q^2 C = 2 p^2 - 2 \] \[ C = \frac{2(1 - p^2)}{q^2} \]

3. Общее решение уравнения:

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка определяется как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: \[ y = y_h + y_p \]

В зависимости от дискриминанта характеристического уравнения, форма \( y_h \) определяется ранее, а \( y_p \) в данном случае будет: \[ y_p = \frac{x^2}{q} - \frac{2p}{q^2} x + \frac{2(1 - p^2)}{q^2} \]

Таким образом, вы получаете полное решение дифференциального уравнения: \[ y = y_h + \frac{x^2}{q} - \frac{2p}{q^2} x + \frac{2(1 - p^2)}{q^2} \]