Этот вопрос относится к курсу «Дифференциальные уравнения», который является частью курса высшей математики.
Задано уравнение: \[ y' + P(x)y = Q(x), \quad Q(x) \neq 0 \] Определим тип этого дифференциального уравнения.
- Порядок уравнения: Смотрим на производные \( y \). В данном уравнении присутствует производная первого порядка \( y' \). Следовательно, это дифференциальное уравнение первого порядка.
- Линейность уравнения: Уравнение имеет вид \( y' + P(x)y = Q(x) \). Проверим, является ли оно линейным по \( y \) и его производным.
- Линейное дифференциальное уравнение имеет вид: \( a_0(x)y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_n(x)y = g(x) \), где \( a_i(x) \) и \( g(x) \) - функции от \( x \).
- В нашем случае \( a_1(x) = 1 \), \( a_0(x) = P(x) \) (при \( y' \) и \( y \) соответственно), а \( g(x) = Q(x) \). Все коэффициенты зависят только от \( x \), поэтому уравнение линейное.
Таким образом, уравнение \( y' + P(x)y = Q(x) \) является:
- Линейным уравнением
- Дифференциальным уравнением
- Уравнением первого порядка
Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка воспользуемся методом нахождения общего решения:
- Найдем интегрирующий множитель \( \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} \).
- Умножим обе части уравнения на \( \mu(x) \): \[ \mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x) \] Заметим, что левая часть уравнения является полной производной выражения \( (\mu(x)y) \): \[ \frac{d}{dx}(\mu(x)y) = mu(x)Q(x) \]
- Проинтегрируем обе части уравнения по \( x \): \[ \int \frac{d}{dx}(\mu(x)y) \, dx = \int \mu(x)Q(x) \, dx \] \[ \mu(x)y = \int \mu(x)Q(x) \, dx + C \]
- Определим \( y \): \[ y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)Q(x) \, dx + C \right) \]
Пример:
Рассмотрим конкретное уравнение \( y' + 2xy = e^{x^2} \).
- Вычислим интегрирующий множитель: \[ P(x) = 2x \] \[ \mu(x) = e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2} \]
- Умножим обе части уравнения: \[ e^{x^2} y' + e^{x^2} \cdot 2xy = e^{x^2} \cdot e^{x^2} \] \[ \frac{d}{dx} (e^{x^2} y) = e^{2x^2} \]
- Проинтегрируем: \[ e^{x^2} y = \int e^{2x^2} \, dx + C \]
- Выразим \( y \): \[ y = e^{-x^2} \left( \int e^{2x^2} \, dx + C \right) \]
Видим, что интеграл \(\int e^{2x^2} \, dx\) не имеет элементарного вида, но это решение уравнения. Таким образом, мы получили общий вид решения и использовали конкретный пример для демонстрации метода.