Определите тип дифференциального уравнения y'-(2y/x)=2x(sqrty)

Давайте разберем это дифференциальное уравнение и определим его тип.

Данное уравнение: $\text{[}{y}^{\prime }-\frac{2y}{x}=2x\sqrt{y}\text{]}$ Это дифференциальное уравнение первого порядка (так как содержит первую производную $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$) и нелинейное (поскольку присутствует $\text{(}\sqrt{y}\text{)}$, что делает его нелинейным членом).

Попробуем упростить уравнение и проверим, можно ли его привести к более простому виду. Одним из способов решения может быть проверка возможности его приведению к уравнению, которое имеет линейное решение. Прежде чем мы начнем решение, обозначим $\text{(}{y}^{\prime }=\frac{dy}{dx}\text{)}$.

Так как наше уравнение нелинейное, попробуем сделать замену переменных для его упрощения. Рассмотрим замену: $\text{[}v=\sqrt{y}\text{]}$ Тогда $\text{(}y=v^2\text{)}$ и производные примут вид: $\text{[}\frac{dy}{dx}=\frac{d(v^2)}{dx}=2v\frac{dv}{dx}\text{]}$

Подставим это в наше исходное уравнение: $\text{[}2v\frac{dv}{dx}-\frac{2(v^2)}{x}=2xv\text{]}$ Разделим обе части на 2v: $\text{[}\frac{dv}{dx}-\frac{v}{x}=xv\text{]}$ Теперь приведем уравнение к стандартной форме: $\text{[}\frac{dv}{dx}-xv=\frac{v}{x}\text{]}$ Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно $\text{(}v\text{)}$: $\text{[}\frac{dv}{dx}-\frac{1}{x}v=xv\text{]}$

Теперь это уравнение можно решать методами, применимыми для линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Во-первых, определим общий множитель. Интегрирующий множитель $\text{(}\mu (x)\text{)}$ определяется как: $\text{[}\mu (x)=e^{\int -(\frac{1}{x}+x)dx}\text{]}$ Разобьем интеграл: $\text{[}\mu (x)=e^{(-\int \frac{1}{x}dx-\int xdx)}\text{]}$ $\text{[}\mu (x)=e^{(-\ln |x|-\frac{x^2}{2})}\text{]}$ $\text{[}\mu (x)=e^{-\ln |x|}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\text{]}$ $\text{[}\mu (x)=\frac{1}{|x|}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\text{]}$ Интегрирующий множитель умножает всю исходную производную: $\text{[}\frac{d}{dx}\left(\frac{v}{|x|}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\right)=0\text{]}$ Отсюда интегрирована производная: $\text{[}\frac{v}{|x|}{e}^{-\frac{x^2}{2}}=C\text{]}$ Умножим на $\text{(}x\text{)}{e}^{\frac{x^2}{2}}$ обе стороны: $\text{[}v=C|x|e^{\frac{x^2}{2}}\text{]}$

Теперь вернемся к $\text{(}y\text{)}$: $\text{[}y=v^2\text{]}$ $\text{[}y=(C|x|e^{\frac{x^2}{2}}{)}^2\text{]}$ $\text{[}y=C^2{x}^2{e}^{x^2}\text{]}$ Итак, наше общее решение дифференциального уравнения: $\text{[}y=C^2{x}^2{e}^{x^2}\text{]}$ Окончательный ответ: $\text{[}y=C^2{x}^2{e}^{x^2}\text{]}$ Таким образом, мы решили уравнение и нашли его общее решение.