Определите тип дифференциального уравнения y'-(2y/x)=2x(sqrty)

Давайте разберем это дифференциальное уравнение и определим его тип.

Данное уравнение: \[ y' - \frac{2y}{x} = 2x\sqrt{y} \] Это дифференциальное уравнение первого порядка (так как содержит первую производную \(y'\)) и нелинейное (поскольку присутствует \(\sqrt{y}\), что делает его нелинейным членом).

Попробуем упростить уравнение и проверим, можно ли его привести к более простому виду. Одним из способов решения может быть проверка возможности его приведению к уравнению, которое имеет линейное решение. Прежде чем мы начнем решение, обозначим \( y' = \frac{dy}{dx} \).

Так как наше уравнение нелинейное, попробуем сделать замену переменных для его упрощения. Рассмотрим замену: \[ v = \sqrt{y} \] Тогда \( y = v^2 \) и производные примут вид: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d(v^2)}{dx} = 2v \frac{dv}{dx} \]

Подставим это в наше исходное уравнение: \[ 2v \frac{dv}{dx} - \frac{2(v^2)}{x} = 2xv \] Разделим обе части на 2v: \[ \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = xv \] Теперь приведем уравнение к стандартной форме: \[ \frac{dv}{dx} - xv = \frac{v}{x} \] Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно \(v\): \[ \frac{dv}{dx} - \frac{1}{x}v = x v \]

Теперь это уравнение можно решать методами, применимыми для линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Во-первых, определим общий множитель. Интегрирующий множитель \(\mu(x)\) определяется как: \[ \mu(x) = e^{\int -\left( \frac{1}{x} + x \right) dx} \] Разобьем интеграл: \[ \mu(x) = e^{\left( -\int \frac{1}{x} dx - \int x dx \right)} \] \[ \mu(x) = e^{\left( -\ln|x| - \frac{x^2}{2} \right)} \] \[ \mu(x) = e^{-\ln|x|}e^{-\frac{x^2}{2}} \] \[ \mu(x) = \frac{1}{|x|} e^{-\frac{x^2}{2}} \] Интегрирующий множитель умножает всю исходную производную: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{v}{|x|}e^{-\frac{x^2}{2}} \right) = 0 \] Отсюда интегрирована производная: \[ \frac{v}{|x|} e^{-\frac{x^2}{2}} = C \] Умножим на \(x\) e^{\frac{x^2}{2}} обе стороны: \[ v = C|x| e^{\frac{x^2}{2}} \]

Теперь вернемся к \(y\): \[ y = v^2 \] \[ y = (C|x| e^{\frac{x^2}{2}})^2 \] \[ y = C^2 x^2 e^{x^2} \] Итак, наше общее решение дифференциального уравнения: \[ y = C^2 x^2 e^{x^2} \] Окончательный ответ: \[ y = C^2 x^2 e^{x^2} \] Таким образом, мы решили уравнение и нашли его общее решение.