Определите тип дифференциального уравнения y'-(2y/x)=2x(sqrty)

Условие:

Определите тип дифференциального уравнения y'-(2y/x)=2x(sqrty)

Решение:

Давайте разберем это дифференциальное уравнение и определим его тип.

Данное уравнение: \[y2yx=2xy\] Это дифференциальное уравнение первого порядка (так как содержит первую производную \(y\)) и нелинейное (поскольку присутствует \(y\), что делает его нелинейным членом).

Попробуем упростить уравнение и проверим, можно ли его привести к более простому виду. Одним из способов решения может быть проверка возможности его приведению к уравнению, которое имеет линейное решение. Прежде чем мы начнем решение, обозначим \(y=dydx\).

Так как наше уравнение нелинейное, попробуем сделать замену переменных для его упрощения. Рассмотрим замену: \[v=y\] Тогда \(y=v2\) и производные примут вид: \[dydx=d(v2)dx=2vdvdx\]

Подставим это в наше исходное уравнение: \[2vdvdx2(v2)x=2xv\] Разделим обе части на 2v: \[dvdxvx=xv\] Теперь приведем уравнение к стандартной форме: \[dvdxxv=vx\] Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно \(v\): \[dvdx1xv=xv\]

Теперь это уравнение можно решать методами, применимыми для линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Во-первых, определим общий множитель. Интегрирующий множитель \(μ(x)\) определяется как: \[μ(x)=e(1x+x)dx\] Разобьем интеграл: \[μ(x)=e(1xdxxdx)\] \[μ(x)=e(ln|x|x22)\] \[μ(x)=eln|x|ex22\] \[μ(x)=1|x|ex22\] Интегрирующий множитель умножает всю исходную производную: \[ddx(v|x|ex22)=0\] Отсюда интегрирована производная: \[v|x|ex22=C\] Умножим на \(x\)ex22 обе стороны: \[v=C|x|ex22\]

Теперь вернемся к \(y\): \[y=v2\] \[y=(C|x|ex22)2\] \[y=C2x2ex2\] Итак, наше общее решение дифференциального уравнения: \[y=C2x2ex2\] Окончательный ответ: \[y=C2x2ex2\] Таким образом, мы решили уравнение и нашли его общее решение.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут