Определите тип дифференциального уравнения (1+e^(x/y))dx+e^(x/y)(1-x/y)dy=0

Прежде всего, определим предмет и раздел предмета, к которому относится данное задание.

Предмет: Математика Раздел предмета: Дифференциальные уравнения

Теперь займёмся решением задания.

Условие задачи

Необходимо определить тип дифференциального уравнения: \[ (1+e^{x/y})dx + e^{x/y}(1 - \frac{x}{y})dy = 0 \]

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартной форме

Перепишем задачу в более удобной форме, поставив известные функции от \( x \) и \( y \):

\[ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \]

где:

\[ M(x, y) = 1 + e^{x/y} \]

\[ N(x, y) = e^{x/y}(1 - \frac{x}{y}) \]

Шаг 2: Проверка на наличие однородности

Проверим, является ли данное уравнение однородным. Однородное уравнение имеет функции \( M(x, y) \) и \( N(x, y) \) той же самой степени при всех переменных:

\( \text{Пусть } t > 0 \text{ и } x = tx, y = ty \)

Проверим:

Для \( M(x, y) \):

\( M(tx, ty) = 1 + e^{(tx)/(ty)} = 1 + e^{x/y} \)

Эта функция однородна нулевой степени (не изменяется с изменением скейла переменных \( x \) и \( y \)).

Для \( N(x, y) \):

\( N(tx, ty) = e^{(tx)/(ty)}\left(1 - \frac{tx}{ty}\right) = e^{x/y}\left(1 - \frac{x}{y}\right) \)

Эта функция однородна первой степени. Следовательно, данное уравнение является не полностью однородным.

Шаг 3: Исследование на точность

Проверим является ли уравнение точным. Для этого нужно проверить равенство:

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \]

Вычислим производные:

\( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(1 + e^{x/y}) = \frac{\partial e^{x/y}}{\partial y} = e^{x/y} \cdot \frac{\partial (x/y)}{\partial y} = e^{x/y} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{xe^{x/y}}{y^2} \)

\( \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(e^{x/y}\left(1 - \frac{x}{y}\right)\right) = \frac{\partial e^{x/y}}{\partial x}(1 - \frac{x}{y}) + e^{x/y} \cdot \frac{\partial (1 - \frac{x}{y})}{\partial x} = e^{x/y} \cdot \frac{1}{y} (1 - \frac{x}{y}) + e^{x/y} \cdot \left(-\frac{1}{y}\right) = \frac{e^{x/y}}{y} - \frac{xe^{x/y}}{y^2} - \frac{e^{x/y}}{y} = -\frac{xe^{x/y}}{y^2} \)

Поскольку \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \), уравнение является точным.

Шаг 4: Решение точного уравнения

Для решения точного уравнения \( \int M(x, y)dx + \int \left[N(x, y) - \frac{\partial}{\partial y}\int M(x, y)dx\right]dy = C \):

Найдём \(\int M(x, y)dx \):

\( \int (1 + e^{x/y})dx = x + y e^{x/y} + \phi(y) \)

Теперь найдём \( \frac{\partial \Phi}{\partial y} \):

\( \frac{\partial}{\partial y}(x + y e^{x/y} + \phi(y)) = e^{x/y}(1 - \frac{x}{y}) + \phi'(y) \)

Приравниваем к \(N(x, y)\):

\( e^{x/y}(1 - \frac{x}{y}) + \phi'(y) = e^{x/y}(1 - \frac{x}{y}) \)

Отсюда \( \phi'(y) = 0 \), значит \( \phi(y) = C \).

Итак, решением будет: \( x + y e^{x/y} = C \)

Таким образом, данное уравнение является точным дифференциальным уравнением первого порядка. Решение уравнения: \( x + y e^{x/y} = C \)