Определите и запишите структуру частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Данный пример относится к предмету "Дифференциальные уравнения", разделу "Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка". Необходимо определить структуру частного решения для линейного неоднородного дифференциального уравнения в зависимости от вида правой части \( f(x) \). Уравнение имеет вид: \[ y'' + 49y = f(x) \] Рассмотрим отдельно каждый случай для правой части \( f(x) \):

Случай a: \( f(x) = (x^3 + 4x)e^{-5x} \)

Правая часть уравнения представляет собой произведение многочлена и экспоненциальной функции. В этом случае частное решение уравнения будет иметь вид: \[ y_p = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)e^{-5x} \] где \( A, B, C, D \) - неопределенные коэффициенты, которые можно было бы найти при подстановке этого решения в уравнение и последующем уравнивании коэффициентов при одинаковых степенях \( x \).

Случай б: \( f(x) = 3 \sin(7x) \)

Правая часть уравнения представляет собой гармоническую функцию (синусоидальную функцию). В этом случае частное решение уравнения будет иметь вид: \[ y_p = A \cos(7x) + B \sin(7x) \] где \( A \) и \( B \) - неопределенные коэффициенты, которые можно было бы найти при подстановке этого решения в уравнение и последующем уравнивании коэффициентов.

Обоснование:

1. Экспоненциальный вид \( f(x) \) - Когда правая часть уравнения является произведением многочлена и экспоненты, частное решение принимает форму многочлена того же порядка умноженного на ту же экспоненциальную функцию.
2. Гармонический вид \( f(x) \) - Когда правая часть является гармонической функцией (синус или косинус), частное решение принимает форму линейной комбинации синуса и косинуса с той же частотой.

Таким образом, структура частного решения для заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет следующие виды:

• Для \( f(x) = (x^3 + 4x)e^{-5x} \): \[ y_p = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)e^{-5x} \]
• Для \( f(x) = 3 \sin(7x) \): \[ y_p = A \cos(7x) + B \sin(7x) \]

Эти выражения представляют собой структуры частного решения без определения конкретных коэффициентов.