Определить, является ли дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах

Это задание относится к предмету "дифференциальные уравнения", раздел "полные дифференциальные уравнения".

Чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах, необходимо проверить, равны ли частные производные функций при \(dx\) и \(dy\):

Для уравнения \(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\):

• Уравнение является полным, если \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\).

Проверим каждое уравнение отдельно:

А) \(2xy dx + x^2 dy = 0\) \(M(x,y) = 2xy\) \(N(x,y) = x^2\)

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (2xy)}{\partial y} = 2x \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x \]

Частные производные равны, следовательно, это уравнение является полным.

Б) \((y^3 - 2xy) dx + (3xy^2 - x^2) dy = 0\) \(M(x,y) = y^3 - 2xy\) \(N(x,y) = 3xy^2 - x^2\)

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (y^3 - 2xy)}{\partial y} = 3y^2 - 2x \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (3xy^2 - x^2)}{\partial x} = 3y^2 - 2x \]

Частные производные равны, следовательно, это уравнение является полным.

В) \((xy^2 - y^3) dx + (1 - xy^2) dy = 0\) \(M(x,y) = xy^2 - y^3\) \(N(x,y) = 1 - xy^2\)

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (xy^2 - y^3)}{\partial y} = 2xy - 3y^2 \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (1 - xy^2)}{\partial x} = -y^2 \]

Частные производные не равны, следовательно, это уравнение не является полным.

Г) \(3x^2 e^{y - 1} dx + (x^3 e^{y - 1}) dy = 0\) \(M(x,y) = 3x^2 e^{y - 1}\) \(N(x,y) = x^3 e^{y - 1}\)

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (3x^2 e^{y - 1})}{\partial y} = 3x^2 e^{y - 1} \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (x^3 e^{y - 1})}{\partial x} = 3x^2 e^{y - 1} \]

Частные производные равны, следовательно, это уравнение является полным.

Ответ: В) (xy^2 - y^3) dx + (1 - xy^2) dy = 0