Определить вид дифференцированного уравнения. записать общее решение

Данное задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения" и его разделу, который изучает методы решения дифференциальных уравнений.

Нам необходимо определить вид данного дифференциального уравнения, записать его общее решение, решить задачу Коши и определить частное решение.

1. Определение вида дифференцированного уравнения:

Уравнение имеет вид: \[ \sqrt{1 + y^2} \, dx = xy \, dy \]

Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{1 + y^2} \):

\[ dx = \frac{xy \, dy}{\sqrt{1 + y^2}} \]

Упростим полученное уравнение:

\[ dx = x \cdot \frac{y \, dy}{\sqrt{1 + y^2}} \]

Это уравнение вида \( f(y) \, dy = g(x) \, dx \), то есть приводится к виду переменных.

2. Общее решение:

Преобразуем уравнение:

\[ \frac{1}{x} \, dx = \frac{y \, dy}{\sqrt{1 + y^2}} \]

Интегрируем обе части уравнения:

\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \int \frac{y \, dy}{\sqrt{1 + y^2}} \]

Интегрируем левую часть:

\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_1 \]

Интегрируем правую часть. Сделаем замену \( u = 1 + y^2 \), тогда \( du = 2y \, dy \):

\[ \int \frac{y \, dy}{\sqrt{1 + y^2}} = \int \frac{du/2}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} + C_2 = \sqrt{1 + y^2} + C_2 \]

Синтезируем интегралы:

\[ \ln |x| = \sqrt{1 + y^2} + C \] где \( C = C_2 - C_1 \).

Таким образом, общее решение имеет вид:

\[ \ln |x| - \sqrt{1 + y^2} = C \]

3. Решение задачи Коши:

Задача Коши задается начальными условиями \( y(1) = 0 \).

Подставим начальные условия в общее решение для нахождения константы \( C \):

\[ \ln |1| - \sqrt{1 + 0^2} = C \implies 0 - 1 = C \implies C = -1 \]

Таким образом, частное решение выглядит следующим образом:

\[ \ln |x| - \sqrt{1 + y^2} = -1 \] или \[ \ln |x| = \sqrt{1 + y^2} - 1 \]

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с начальными условиями \( y(1) = 0 \) записывается следующим образом:

\[ \ln |x| = \sqrt{1 + y^2} - 1 \]