Данная задача относится к математике, а именно к разделу "Калькуляция производных и уравнение касательной".
Для того чтобы определить уравнение касательной к кривой \( f(x) = x^3 \) в точке \( M_0(2; 8) \), нам нужно выполнить следующие шаги:
- Найти производную функции \( f(x) \): Функция дана как \( f(x) = x^3 \). Находим её производную: \[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2
\]
- Найти значение производной в точке \( x = 2 \): Подставляем \( x = 2 \) в производную: \[
f'(2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12
\] Это означает, что наклон касательной в точке \( M_0 \) равен 12.
- Записать уравнение касательной в общем виде: Уравнение касательной к функции в точке \( (x_0, y_0) \) выглядит следующим образом: \[
y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)
\] Здесь \( x_0 = 2 \) и \( y_0 = 8 \). Подставляем эти значения в уравнение: \[
y - 8 = 12 (x - 2)
\]
- Преобразовать уравнение в стандартный вид: Раскрываем скобки: \[
y - 8 = 12x - 24
\] Переносим все члены на одну сторону, чтобы получить уравнение в стандартном виде: \[
12x - y - 16 = 0
\]
Теперь проверяем варианты ответов:
- \( x + 12y - 98 = 0 \)
- \( 12x - y - 16 = 0 \)
- \( 16x - y + 92 = 0 \)
- \( x - 8y + 12 = 0 \)
Правильный ответ: \( 12x - y - 16 = 0 \).