Определить убывает ли решение около точки

Задание относится к математике, а именно к области дифференциальных уравнений (раздел математического анализа). Разберём каждое утверждение:

1. Утверждение: Интегральная кривая уравнения \( y' = \ln y \), проходящая через точку \( (0, 10) \), убывает в окрестности точки \( x_0 = 0 \).

Запишем дифференциальное уравнение:

\[ y' = \ln y. \]

Для того чтобы определить убывает ли решение около точки \( x_0 = 0 \), необходимо решить уравнение. Решение этого уравнения можно получить методом разделения переменных:

\[ \frac{dy}{dx} = \ln y \implies \frac{1}{\ln y} \, dy = dx. \]

Интегрируем обе стороны:

\[ \int \frac{1}{\ln y} \, dy = \int dx. \]

Это уравнение сложно интегрировать аналитически. Однако достаточно проверить поведение решения в окрестности точки. Для этого рассмотрим знак производной \( y' \). Так как положение точки \( y(0) = 10 \), то логарифм положительного числа (в данном случае \( \ln 10 \)) будет положительным, значит, производная положительна, а это указывает на то, что функция возрастает, а не убывает. Это утверждение неверно.

2. Утверждение: Задача Коши \( y' = -\cos x, y(0) = 10 \) не имеет решения.

Рассмотрим задачу Коши:

\[ y' = -\cos x, \quad y(0) = 10. \]

Это простое дифференциальное уравнение, которое можно решить методом интегрирования. Интегрируем:

\[ y(x) = -\int \cos x \, dx = -\sin x + C. \]

Используем начальное условие \( y(0) = 10 \):

\[ y(0) = -\sin 0 + C = 10 \implies C = 10. \]

Таким образом, решение задачи Коши — это функция:

\[ y(x) = -\sin x + 10. \]

Поскольку решение существует, утверждение неверно.

3. Утверждение: Верных утверждений нет.

Мы не обработали ещё последнее утверждение, давайте дождёмся его анализа перед принятием этого.

4. Утверждение: Функция \( x(y) = 0, \, y \in \mathbb{R} \), является решением уравнения \( xy' = 0 \).

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

\[ x y' = 0. \]

Это уравнение означает, что правая часть равняется нулю, следовательно, \( y' = 0 \) при \( x \neq 0 \). Если производная равна нулю, то функция \( y \) — это константа. Также решение возможное при \( x = 0 \) для всех \( y \). Функция \( x(y) = 0 \) является константной функцией, и она решает это уравнение.

Таким образом, утверждение верно.

Итог:

• Функция \( x(y) = 0, \, y \in \mathbb{R} \), является решением уравнения \( xy' = 0 \).

Верные утверждения: