Определить тип устойчивости особых точек линейных автономных систем, используя собственные значения матрицы коэффициентов

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения, теория устойчивости

Для решения задания необходимо определить тип устойчивости особых точек линейных автономных систем, используя собственные значения матрицы коэффициентов.

Шаг 1: Запишем матрицы коэффициентов для каждой системы

Для каждой системы уравнений выпишем матрицу коэффициентов:

1. Для системы
   $\{\begin{array}{l}\dot{x}=3x+4y,\dot{y}=2x+y\end{array}$
   матрица коэффициентов:
   $A_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 42& 1\end{array}\right)$

2. Для системы
   $\{\begin{array}{l}\dot{x}=2y-3x,\dot{y}=x-4y\end{array}$
   матрица коэффициентов:
   $A_2=\left(\begin{array}{ccc}-3& 21& -4\end{array}\right)$

3. Для системы
   $\{\begin{array}{l}\dot{x}=x-4y,\dot{y}=2x-y\end{array}$
   матрица коэффициентов:
   $A_3=\left(\begin{array}{ccc}1& -42& -1\end{array}\right)$

Шаг 2: Найдем собственные значения матриц

Собственные значения находятся как корни характеристического уравнения:
$det(A-\lambda I)=0$,
где $\lambda$ — собственные значения, $I$ — единичная матрица.

1. Для $A_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 42& 1\end{array}\right)$:

Характеристическое уравнение:
$det\left(\begin{array}{ccc}3-\lambda & 42& 1-\lambda \end{array}\right)=0$
$(3-\lambda )(1-\lambda )-8=0$
${\lambda }^2-4\lambda -5=0$
Корни:
${\lambda }_{1,2}=5,-1$.

Собственные значения имеют разные знаки ($5>0$, $-1<0$), значит особая точка неустойчивая (А).

2. Для $A_2=\left(\begin{array}{ccc}-3& 21& -4\end{array}\right)$:

Характеристическое уравнение:
$det\left(\begin{array}{ccc}-3-\lambda & 21& -4-\lambda \end{array}\right)=0$
$(-3-\lambda )(-4-\lambda )-2=0$
${\lambda }^2+7\lambda +10=0$
Корни:
${\lambda }_{1,2}=-2,-5$.

Оба собственных значения отрицательны ($-2<0$, $-5<0$), значит особая точка асимптотически устойчивая (В).

3. Для $A_3=\left(\begin{array}{ccc}1& -42& -1\end{array}\right)$:

Характеристическое уравнение:
$det\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & -42& -1-\lambda \end{array}\right)=0$
$(1-\lambda )(-1-\lambda )+8=0$
${\lambda }^2+\lambda +9=0$.

Дискриминант:
$D=1^2-4\cdot 1\cdot 9=-35$.

Дискриминант отрицателен, значит корни — комплексные числа с отрицательной вещественной частью.
${\lambda }_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm i\sqrt{\frac{35}{4}}$.

Значит особая точка асимптотически устойчивая (В).

Шаг 3: Ответ

1. А (неустойчивая)
2. В (асимптотически устойчивая)
3. В (асимптотически устойчивая)