Определить тип устойчивости особых точек линейных автономных систем, используя собственные значения матрицы коэффициентов

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения, теория устойчивости

Для решения задания необходимо определить тип устойчивости особых точек линейных автономных систем, используя собственные значения матрицы коэффициентов.

Шаг 1: Запишем матрицы коэффициентов для каждой системы

Для каждой системы уравнений выпишем матрицу коэффициентов:

1. Для системы
   \begin{cases} \dot{x} = 3x + 4y, \ \dot{y} = 2x + y \end{cases}
   матрица коэффициентов:
   A_1 = \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 2 & 1 \end{pmatrix}

2. Для системы
   \begin{cases} \dot{x} = 2y - 3x, \ \dot{y} = x - 4y \end{cases}
   матрица коэффициентов:
   A_2 = \begin{pmatrix} -3 & 2 \ 1 & -4 \end{pmatrix}

3. Для системы
   \begin{cases} \dot{x} = x - 4y, \ \dot{y} = 2x - y \end{cases}
   матрица коэффициентов:
   A_3 = \begin{pmatrix} 1 & -4 \ 2 & -1 \end{pmatrix}

Шаг 2: Найдем собственные значения матриц

Собственные значения находятся как корни характеристического уравнения:
\det(A - \lambda I) = 0,
где \lambda — собственные значения, I — единичная матрица.

1. Для A_1 = \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 2 & 1 \end{pmatrix}:

Характеристическое уравнение:
\det\begin{pmatrix} 3 - \lambda & 4 \ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = 0
(3 - \lambda)(1 - \lambda) - 8 = 0
\lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0
Корни:
\lambda_{1,2} = 5, -1.

Собственные значения имеют разные знаки (5 > 0, -1 < 0), значит особая точка неустойчивая (А).

2. Для A_2 = \begin{pmatrix} -3 & 2 \ 1 & -4 \end{pmatrix}:

Характеристическое уравнение:
\det\begin{pmatrix} -3 - \lambda & 2 \ 1 & -4 - \lambda \end{pmatrix} = 0
(-3 - \lambda)(-4 - \lambda) - 2 = 0
\lambda^2 + 7\lambda + 10 = 0
Корни:
\lambda_{1,2} = -2, -5.

Оба собственных значения отрицательны (-2 < 0, -5 < 0), значит особая точка асимптотически устойчивая (В).

3. Для A_3 = \begin{pmatrix} 1 & -4 \ 2 & -1 \end{pmatrix}:

Характеристическое уравнение:
\det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & -4 \ 2 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = 0
(1 - \lambda)(-1 - \lambda) + 8 = 0
\lambda^2 + \lambda + 9 = 0.

Дискриминант:
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = -35.

Дискриминант отрицателен, значит корни — комплексные числа с отрицательной вещественной частью.
\lambda_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm i\sqrt{\frac{35}{4}}.

Значит особая точка асимптотически устойчивая (В).

Шаг 3: Ответ

1. А (неустойчивая)
2. В (асимптотически устойчивая)
3. В (асимптотически устойчивая)