Определить тип уравнения и решить его

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка)

Рассмотрим уравнение:

y'' + y'\tan{x} = \cos^3{x}

Шаг 1: Определим тип уравнения

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, линейное, неоднородное, так как:

• Вторая производная y'' присутствует.
• Переменная y и её производные входят в уравнение линейно.
• Правая часть \cos^3{x} не равна нулю ⇒ уравнение неоднородное.

Шаг 2: Замена переменной

Обозначим y' = z, тогда y'' = z'.

Подставим в уравнение:

z' + z\tan{x} = \cos^3{x}

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно z.

Шаг 3: Решим линейное уравнение первого порядка

Приведем уравнение к стандартному виду:

z' + z\tan{x} = \cos^3{x}

Найдем интегрирующий множитель:

\mu(x) = e^{\int \tan{x}dx} = e^{-\ln|\cos{x}|} = \frac{1}{\cos{x}}

Умножим всё уравнение на \mu(x) = \frac{1}{\cos{x}}:

\frac{1}{\cos{x}}z' + \frac{\tan{x}}{\cos{x}}z = \frac{\cos^3{x}}{\cos{x}} = \cos^2{x}

Левая часть — производная произведения:

\frac{d}{dx}\left(\frac{z}{\cos{x}}\right) = \cos^2{x}

Интегрируем обе части:

\frac{z}{\cos{x}} = \int \cos^2{x} dx

Вспомним, что:

\cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2}

Тогда:

\int \cos^2{x} dx = \int \frac{1 + \cos{2x}}{2} dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{2x} + C

Итак:

\frac{z}{\cos{x}} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{2x} + C

Умножим на \cos{x}:

z = y' = \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{2x} + C\right)\cos{x}

Шаг 4: Найдем y(x)

Интегрируем:

y = \int y' dx = \int \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{2x} + C\right)\cos{x} dx

Разобьем на три интеграла:

y = \int \frac{x}{2} \cos{x} dx + \int \frac{1}{4} \sin{2x} \cos{x} dx + \int C \cos{x} dx

1. \int \frac{x}{2} \cos{x} dx = \frac{1}{2} \int x \cos{x} dx = \frac{1}{2}(x \sin{x} + \cos{x}) (по частям)

2. \int \frac{1}{4} \sin{2x} \cos{x} dx
   Используем формулу произведения синуса и косинуса:

   \sin{2x} \cos{x} = 2 \sin{x} \cos^2{x}, но проще воспользоваться:

   \sin{2x} \cos{x} = \frac{1}{2}[\sin{3x} + \sin{x}]

   Тогда:

   \int \frac{1}{4} \sin{2x} \cos{x} dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{2} (\sin{3x} + \sin{x}) dx = \frac{1}{8}(-\cos{3x} - \cos{x})

3. \int C \cos{x} dx = C \sin{x}

Ответ:

 y(x) = \frac{1}{2}(x \sin{x} + \cos{x}) - \frac{1}{8}(\cos{3x} + \cos{x}) + C \sin{x} + C_1 

где C и C_1 — произвольные постоянные интегрирования.

Если есть необходимость, можно объединить константы и упростить.