Определить тип уравнения и реши его не используя интегрирующий множитель

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка)

Дано уравнение:

 x^2 y' = x y + y \sqrt{y^2 - x^2} 

Обозначим производную: y' = \dfrac{dy}{dx}, тогда уравнение перепишем в виде:

 x^2 \dfrac{dy}{dx} = x y + y \sqrt{y^2 - x^2} 

Разделим обе части на x^2 (предполагаем x \ne 0):

 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} + \dfrac{y}{x^2} \sqrt{y^2 - x^2} 

🔍 Определим тип уравнения

Уравнение имеет вид:

 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} + \dfrac{y}{x^2} \sqrt{y^2 - x^2} 

Это однородное уравнение, так как правая часть выражается через однородные функции одной степени. Для проверки однородности сделаем замену:

Пусть y = ux, тогда \dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}

Подставим в уравнение:

 x^2(u + x \dfrac{du}{dx}) = x(ux) + ux \sqrt{(ux)^2 - x^2} 

Упростим:

Левая часть:  x^2 u + x^3 \dfrac{du}{dx} 

Правая часть:  x^2 u + ux \sqrt{u^2 x^2 - x^2} = x^2 u + ux \sqrt{x^2(u^2 - 1)} = x^2 u + ux \cdot x \sqrt{u^2 - 1} = x^2 u + x^2 u \sqrt{u^2 - 1} 

Подставим и сократим x^2 u:

 x^3 \dfrac{du}{dx} = x^2 u \sqrt{u^2 - 1} 

Разделим обе части на x^3:

 \dfrac{du}{dx} = \dfrac{u \sqrt{u^2 - 1}}{x} 

✍️ Решим полученное уравнение

Это уравнение с разделяющимися переменными:

 \dfrac{du}{u \sqrt{u^2 - 1}} = \dfrac{dx}{x} 

Левую часть интегрируем по подстановке:

Пусть u = \sec \theta, тогда du = \sec \theta \tan \theta d\theta
и \sqrt{u^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \tan \theta

Тогда:

 \dfrac{du}{u \sqrt{u^2 - 1}} = \dfrac{\sec \theta \tan \theta d\theta}{\sec \theta \cdot \tan \theta} = d\theta 

Итак, интеграл:

 \int \dfrac{du}{u \sqrt{u^2 - 1}} = \int d\theta = \theta = \arcsec u 

Таким образом:

 \arcsec u = \ln|x| + C 

Переходя обратно к переменной u = \dfrac{y}{x}:

 \arcsec\left(\dfrac{y}{x}\right) = \ln|x| + C 

✅ Ответ:

Общее решение уравнения:

 \arcsec\left(\dfrac{y}{x}\right) = \ln|x| + C 

или, при желании, можно выразить y:

 \dfrac{y}{x} = \sec(\ln|x| + C) \quad \Rightarrow \quad y = x \cdot \sec(\ln|x| + C)