Определить тип краевой задачи и решить задание

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения в частных производных, краевые задачи, метод разделения переменных

Определение типа краевой задачи

Дано уравнение: u_t = 9 u_{xx}

Это уравнение теплопроводности (параболическое уравнение).

Граничные условия: u_x(0, t) = 0, \quad u\left(\frac{3\pi}{4}, t\right) = 0

Начальные условия: u(x, 0) = 4 \cos 2x, \quad u_t(x, 0) = \cos \frac{14x}{3} + 7 \cos \frac{10x}{3}

Тип краевой задачи

Это задача Коши для уравнения теплопроводности с граничными условиями смешанного типа (Neumann в точке 0 и Dirichlet в точке x = \frac{3\pi}{4}).

Решение методом разделения переменных (метод Фурье)

Ищем решение в виде: u(x,t) = X(x) T(t)

Подставим в уравнение: u_t = 9 u_{xx} \Rightarrow X(x) T'(t) = 9 X''(x) T(t)

Разделим переменные: \frac{T'(t)}{9 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda

где \lambda — постоянная разделения.

Пространственная часть:

Решаем задачу:  \begin{cases} X'' + \lambda X = 0 \ X'(0) = 0 \ X\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0 \end{cases} 

Общее решение: X(x) = A \cos \sqrt{\lambda} x + B \sin \sqrt{\lambda} x

Условие X'(0) = 0: X'(x) = -A \sqrt{\lambda} \sin \sqrt{\lambda} x + B \sqrt{\lambda} \cos \sqrt{\lambda} x \Rightarrow X'(0) = B \sqrt{\lambda} = 0 \Rightarrow B=0

Тогда: X(x) = A \cos \sqrt{\lambda} x

Условие X\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0: A \cos \left(\sqrt{\lambda} \frac{3\pi}{4}\right) = 0

Для ненулевого A: \cos \left(\sqrt{\lambda} \frac{3\pi}{4}\right) = 0

Решение: \sqrt{\lambda} \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n=0,1,2,\ldots

Отсюда: \sqrt{\lambda} = \frac{2}{3} (1 + 2n), \quad \lambda_n = \left(\frac{2}{3} (1+2n)\right)^2

Временная часть:

Решаем ОДУ: T'(t) + 9 \lambda T(t) = 0

Общее решение: T_n(t) = C_n e^{-9 \lambda_n t}

Общее решение:

u(x,t) = \sum_{n=0}^\infty C_n e^{-9 \lambda_n t} \cos \left(\frac{2}{3} (1+2n) x \right)

Определение коэффициентов из начальных условий

Начальное условие: u(x,0) = 4 \cos 2x

Сравним с разложением: 4 \cos 2x = \sum_{n=0}^\infty C_n \cos \left(\frac{2}{3} (1+2n) x \right)

Для того, чтобы это равенство выполнялось, необходимо, чтобы 4 \cos 2x совпадало с одним из собственных функций, то есть: 2 = \frac{2}{3} (1+2n) \Rightarrow 3 = 1 + 2n \Rightarrow n=1

Тогда: C_1 = 4, остальные C_n=0.

Итоговое решение:

u(x,t) = 4 e^{-9 \lambda_1 t} \cos \left(\frac{2}{3} (1+2 \cdot 1) x \right) = 4 e^{-9 \left(\frac{2}{3} \cdot 3\right)^2 t} \cos (2x) = 4 e^{-9 \cdot 4 t} \cos 2x = 4 e^{-36 t} \cos 2x

Проверка решения

Вычислим производные:

u_t = -36 \cdot 4 e^{-36 t} \cos 2x = -144 e^{-36 t} \cos 2x

u_x = 4 e^{-36 t} (-2 \sin 2x) = -8 e^{-36 t} \sin 2x

u_{xx} = -8 e^{-36 t} \cdot 2 \cos 2x = -16 e^{-36 t} \cos 2x

Подставим в уравнение теплопроводности:

u_t = 9 u_{xx} \Rightarrow -144 e^{-36 t} \cos 2x = 9 (-16 e^{-36 t} \cos 2x) = -144 e^{-36 t} \cos 2x

Равенство выполняется, значит решение корректно.

Вывод:

• Тип краевой задачи: задача Коши для уравнения теплопроводности с граничными условиями смешанного типа (Neumann и Dirichlet).
• Решение методом разделения переменных: u(x,t) = 4 e^{-36 t} \cos 2x
• Проверка решения подтверждает корректность.

Если нужно, могу помочь с уточнением по начальному условию для производной по времени u_t(x,0), так как оно не входит в классическую постановку задачи теплопроводности.