Определить тип и решить дифференциальное уравнения.

Пример 1:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как множители при dx и dy – одинаковой 2-й степени. Сделаем замену переменных

Пример 5:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

y'' + 4y'  = 2sin 5x .

Решение от преподавателя:

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
r² +4 r + 0 = 0 
D=4² - 4*1*0=16 


Корни характеристического уравнения: 
r₁ = 0 
r₂ = -4 
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: 
y₁ = e^0x 
y₂ = e^-4x 
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 

Рассмотрим правую часть: 
f(x) = 2*sin(5*x) 
Поиск частного решения. 
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 2, α = 0, β = 5. 
Следовательно, число α + βi = 5i не является корнем характеристического уравнения. 
Уравнение имеет частное решение вида: 
y = Acos(5x) + Bsin(5x) 
Вычисляем производные: 
y' = -5Asin(5x)+5Bcos(5x) 
y'' = -25(Acos(5x)+Bsin(5x)) 
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: 
y'' + 4y' = (-25(Acos(5x)+Bsin(5x))) + 4(-5Asin(5x)+5Bcos(5x)) = 2sin(5x) 
или 
-20Asin(5x)-25Acos(5x)-25Bsin(5x)+20Bcos(5x) = 2sin(5x) 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 
1: -20A -25B = 2 
1: -25A + 20B = 0 
Решая ее, находим: 
A = ^-8/₂₀₅;B = ^-2/₄₁; 
Частное решение имеет вид: 
y=-⁸/₂₀₅cos(5x) -²/₄₁sin(5x) 
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 

Пример 7:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка и начальные условия. Определить тип дифференциального уравнения инайти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение от преподавателя:

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка, так как в него не входит искомая функция у. Порядок уравнения понижаем, взяв за новую неизвестную функцию первую производную, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Пример 11:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных:

y=u*v, y' = u'v + uv'.
u*v/x+u*v'+u'v = ln(x)
или
u(v/x+v') + u'v= ln(x)
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(v/x+v') = 0
2. u'v = ln(x)
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
v/x+v' = 0
Представим в виде:
v' = -v/x
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = -ln(x)
v = 1/x
2. Зная v, Находим u из условия: u'*v = ln(x)
u'/x = ln(x)
u' = x*ln(x)
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = 1/x(C+x²/2ln(x)-x²/4)
или
y = C/x+x/2ln(x)-x/4

Пример 14:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

Решение от преподавателя:

Составим  и решим характеристическое уравнение для однородного уравнения:

Пример 15:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +0 r + 0 = 0
D=0² - 4*1*0=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 0 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^0x
y₂ = xe^0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'_i составляем систему уравнений:
C'₁ + C'₂ x = 0
C'₁(0) + C'₂(1) = x*sin(x)
Выразим C'₁ из первого уравнения:
C'₁ = -c₂x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C'₁ = -x²sin(x)
C'₂ = x*sin(x)
Интегрируем полученные функции C'_i:
C₁ = x²cos(x)-2x*sin(x)-2cos(x) + C₁
C₂ = -x*cos(x)+sin(x) + C₂
Записываем полученные выражения в виде:
C₁ = x²cos(x)-2x*sin(x)-2cos(x) + C₁1
C₂ = x(-x*cos(x)+sin(x)) + C₂x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C₁ + C₂ = C₁ + C₂ x -x*sin(x)-2cos(x)
Найдем частное решение при условии: y(0) = 1, y'(0) = 1
Поскольку y(0) = c₁-2, то получаем первое уравнение:
c₁-2 = 1
Находим первую производную:
y' = c₂-x*cos(x)+sin(x)
Поскольку y'(0) = c₂, то получаем второе уравнение:
c₂ = 1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁-2 = 1
c₂ = 1
т.е.:
c₁ = 3, c₂ = 1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 16:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +0 r + 1 = 0
D=0² - 4*1*1=-4


Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = i
r₂ = - i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'_i составляем систему уравнений:
C'₁cos(x) + C'₂sin(x) = 0
C'₁(-sin(x)) + C'₂(cos(x)) = (x+2)*e^-x
Выразим C'₁ из первого уравнения:
C'₁ = -c₂tg(x)
и подставим во второе. В итоге получаем:
C'₁ = -(x+2)*e^-xsin(x)
C'₂ = (x+2)*e^-xcos(x)
Интегрируем полученные функции C'_i:


Записываем полученные выражения в виде:
или


Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 18:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² -4 r + 4 = 0
D=(-4)² - 4*1*4=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^2x
y₂ = xe^2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'_i составляем систему уравнений:

C'₁(2e^2x) + C'₂(2x*e^2x+e^2x) = cos(x)+10sin(x)
Выразим C'₁ из первого уравнения:
C'₁ = -c₂x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C'₁ = -x(10sin(x)+cos(x))*e^-2x
C'₂ = (10sin(x)+cos(x))*e^-2x
Интегрируем полученные функции C'_i:
 = 

Записываем полученные выражения в виде:
 = 

или


Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 2
Поскольку y(0) = c₁+43/25, то получаем первое уравнение:
c₁+43/25 = 0
Находим первую производную:
y' = 2c₁e^2x+2c₂x*e^2x+c₂e^2x-43/25sin(x)+26/25cos(x)
Поскольку y'(0) = 2*c₁+c₂+26/25, то получаем второе уравнение:
2c₁+c₂+26/25 = 2
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁+43/25 = 0
2c₁+c₂+26/25 = 2
т.е.:
c₁ = -43/25, c₂ = 22/5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 20:

Установить тип ДУ, найти его общее и частное решения.

Решение от преподавателя:

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, так как его можно записать в виде y'=p(x)y = q(x), где p(x) = , q(x)= .

Сделаем замену переменных: y=u*v, y' = u'v + uv'.
-u*v*ctg(x)+u*v'+u'v = 2x*sin(x)
или
u(-v*ctg(x)+v') + u'v= 2x*sin(x)
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(-v*ctg(x)+v') = 0
2. u'v = 2x*sin(x)
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
-v*ctg(x)+v' = 0
Представим в виде:
v' = v*ctg(x)
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = ln(sin(x))
v = sin(x)
2. Зная v, Находим u из условия: u'*v = 2*x*sin(x)
u'sin(x) = 2x*sin(x)
u' = 2x
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = (C+x²)*sin(x)
или
y = C*sin(x)+x²sin(x)
Найдем частное решение при условии: y(π/2)=0
y(π/2)= C*sin(π /2)+ π /2²sin(π /2) = 0
Откуда:
c₁ = -π/4
Таким образом, частное решение имеет вид:
y(π/2)= -π/4sin(x)+x²sin(x)

Ответ:

Пример 21:

Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.

Решение от преподавателя: