Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения первого порядка

Дано дифференциальное уравнение:

$x{y}^{\prime }-y=(x-y)\sqrt{\ln (x-y)-\ln x}$.

1. Определение типа уравнения

Перепишем уравнение в стандартной форме:
$x{y}^{\prime }=y+(x-y)\sqrt{\ln (x-y)-\ln x}$.

Это уравнение первого порядка, так как в нем участвует первая производная $y^{\prime }$.
Поскольку правая часть явно зависит от $x$, $y$ и $y^{\prime }$, уравнение является нелинейным.

2. Приведение к решению

Рассмотрим преобразования. Введем замену:
$z=x-y\text{или}y=x-z.$
Тогда производная $y^{\prime }$ выражается как:
$y^{\prime }=1-z^{\prime }.$

Подставим в исходное уравнение:
$x(1-z^{\prime })-(x-z)=z\sqrt{\ln z-\ln x}.$

Упростим:
$x-x{z}^{\prime }-x+z=z\sqrt{\ln z-\ln x}.$
$-x{z}^{\prime }+z=z\sqrt{\ln z-\ln x}.$
Разделим обе части на $z$ (при $z\ne 0$):
$-\frac{x{z}^{\prime }}{z}+1=\sqrt{\ln z-\ln x}.$
$-\frac{x{z}^{\prime }}{z}=\sqrt{\ln z-\ln x}-1.$

Теперь преобразуем логарифмы:
$\ln z-\ln x=\ln \left(\frac{z}{x}\right).$
Тогда:
$-\frac{x{z}^{\prime }}{z}=\sqrt{\ln \left(\frac{z}{x}\right)}-1.$

3. Разделение переменных

Перепишем уравнение:
$-\frac{x{z}^{\prime }}{z}=\sqrt{\ln \left(\frac{z}{x}\right)}-1.$
Упростим и выразим $z^{\prime }$:
$z^{\prime }=-\frac{z}{x}(\sqrt{\ln \left(\frac{z}{x}\right)}-1).$

Это уравнение можно решать методом разделения переменных, однако его аналитическое решение может быть сложным и потребовать дополнительных функций.

4. Общее решение

Общее решение уравнения записывается в виде:
$\int \frac{1}{\sqrt{\ln \left(\frac{z}{x}\right)}-1}dz=-\int \frac{1}{x}dx.$

Левая часть интегрируется по $z$, правая — по $x$.
После интегрирования и обратной замены $z=x-y$ получится общее решение в явном или неявном виде.