Определить тип дифференциального уравнения

Это задание относится к разделу дифференциальных уравнений в курсе математики.

Первый шаг — определить тип дифференциального уравнения. Запишем уравнение в стандартной форме: \[ xy' + y - \sin(x) = 0 \]

1. Определение типа уравнения:

Уравнение имеет вид \( a(x)y' + b(x)y + c(x) = 0 \), где:

• \( a(x) = x \)
• \( b(x) = 1 \)
• \( c(x) = -\sin(x) \)

Это однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Теперь перейдем к решению уравнения.

2. Преобразование уравнения к нормальной форме:

Нормальная форма уравнения вида \( y' + P(x)y = Q(x) \) достигается путем деления исходного уравнения на \( x \):

\[ y' + \frac{y}{x} = \frac{\sin(x)}{x} \]

Здесь \( P(x) = \frac{1}{x} \) и \( Q(x) = \frac{\sin(x)}{x} \).

3. Использование метода интегрирующего множителя:

Для решения линейного дифференциального уравнения нам нужно найти интегрирующий множитель \(\mu(x)\), который определяется по формуле:

\[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} \]

Вычислим интеграл:

\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| \]

Интегрирующий множитель:

\[ \mu(x) = e^{\ln |x|} = |x| \]

4. Умножение уравнения на интегрирующий множитель:

Умножим исходное уравнение на \( |x| \):

\[ x \left( y' + \frac{y}{x} \right) = x \cdot \frac{\sin(x)}{x} \]

Получаем:

\[ xy' + y = \sin(x) \]

Это уравнение становится:

\[ (|x|y)' = \sin(x) \]

5. Интегрирование обеих частей:

Теперь проинтегрируем обе части по \( x \):

\[ \int (|x|y)' dx = \int \sin(x) dx \]

Левая часть:

\[ |x| y = -\cos(x) + C \]

где \( C \) — постоянная интегрирования.

6. Выражение общего решения:

\[ y = \frac{-\cos(x) + C}{|x|} \]

Можно также записать решение с учетом знака в \( |x| \):

\[ y = \frac{-\cos(x) + C}{x} \]

Таким образом, общее решение уравнения:

\[ y = \frac{-\cos(x) + C}{x} \]

Где \( C \) — произвольная константа.

Мы определили, что данное дифференциальное уравнение — однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и решили его, используя метод интегрирующего множителя.