Определить тип дифф уравнения и найти его решение не используя при этом интегральный множитель

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка)

Задание:

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

y'' = -\frac{1}{y^3}, \quad y\big|_{x = \frac{1}{2}} = 1, \quad y'\big|_{x = \frac{1}{2}} = 1

Требуется:

1. Определить тип уравнения.
2. Найти его общее решение, не используя интегральный множитель.

Шаг 1: Определим тип уравнения

Данное уравнение: y'' = -\frac{1}{y^3}

является nelineйным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, так как правая часть зависит от y в степени, отличной от 1, и не является линейной функцией.

Шаг 2: Понижение порядка

Так как правая часть не зависит явно от x, можно понизить порядок, используя подстановку:

v = y', \quad \Rightarrow \quad y'' = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = v \cdot \frac{dv}{dy}

Тогда исходное уравнение переписывается как:

v \cdot \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{y^3}

Шаг 3: Разделение переменных и интегрирование

Разделим переменные:

v \, dv = -\frac{1}{y^3} \, dy

Интегрируем обе части:

\int v \, dv = \int -\frac{1}{y^3} \, dy

\frac{v^2}{2} = \frac{1}{2y^2} + C

Умножим всё на 2:

v^2 = \frac{1}{y^2} + C_1

где C_1 = 2C

Теперь вернёмся к переменной x:

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{1}{y^2} + C_1

Шаг 4: Найдём константу интегрирования

Из условия задачи:

y\left(\frac{1}{2}\right) = 1, \quad y'\left(\frac{1}{2}\right) = 1

Подставим в уравнение:

1^2 = \frac{1}{1^2} + C_1 \quad \Rightarrow \quad 1 = 1 + C_1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 0

Значит:

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{1}{y^2}

Возьмём корень:

\frac{dy}{dx} = \pm \frac{1}{y}

Но из условия y'\left(\frac{1}{2}\right) = 1 > 0, значит берём положительный корень:

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}

Шаг 5: Решим уравнение

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} \quad \Rightarrow \quad y \, dy = dx

Интегрируем:

\int y \, dy = \int dx \quad \Rightarrow \quad \frac{y^2}{2} = x + C_2

Подставим условие y\left(\frac{1}{2}\right) = 1:

\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C_2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0

Итак, получаем:

\frac{y^2}{2} = x \quad \Rightarrow \quad y^2 = 2x \quad \Rightarrow \quad y = \sqrt{2x}

Ответ:

Тип уравнения:
Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Решение:
y(x) = \sqrt{2x} — удовлетворяет начальным условиям.