Определить особые точки уравнения и построить фазовые траектории на плоскости

Для решения этого задания нам нужно определить особые точки уравнения и построить фазовые траектории на плоскости (x, y). Это задание относится к разделу "Дифференциальные уравнения" и, более конкретно, к теме "Качественный анализ автономных систем".

Дано дифференциальное уравнение:

y' = (2x + y) / (3x + 4y).

1. Особые точки:

Особые точки — это точки, в которых производная y' равна нулю. Это происходит, когда числитель дроби обращается в ноль, потому что знаменатель не должен быть равен нулю в обычных точках определения y'.

Рассмотрим числитель:

2x + y = 0.

Найдем соответствующие точки:

y = -2x.

Также проверим, где знаменатель становится нулевым:

3x + 4y = 0, y = -3x/4.

Для нахождения особых точек мы решаем систему уравнений:

1) 2x + y = 0,

2) 3x + 4y = 0.

Из первого уравнения:

y = -2x.

Подставляем во второе уравнение:

3x + 4(-2x) = 0,

3x - 8x = 0,

-5x = 0,

x = 0.

Таким образом, x = 0. Подставим в первое уравнение:

y = -2 * 0 = 0.

Особая точка — это (0, 0).

2. Построение фазовых траекторий:

Фазовые траектории — это линии на плоскости (x, y), которые показывают движение вектора (x, y) в зависимости от времени. В данной системе это выражает направление и скорость изменения переменной y по оси времени t.

Необходимо исследовать поведение в окрестности особой точки (0, 0):

• Рассмотрим линейное приближение: вычисляем якобиан системы в особой точке (0, 0).
• Запишем нашу систему, обозначив:

dx/dt = P(x, y) = 2x + y,

dy/dt = Q(x, y) = 3x + 4y.

Якобиан — матрица частных производных:

J = {{∂P/∂x, ∂P/∂y}, {∂Q/∂x, ∂Q/∂y}}.

Вычислим частные производные в (0, 0):

∂P/∂x = 2, ∂P/∂y = 1,

∂Q/∂x = 3, ∂Q/∂y = 4.

Якобиан J в (0, 0):

J = {{2, 1}, {3, 4}}.

Теперь найдем собственные числа (λ) матрицы J, которые помогут охарактеризовать тип особой точки:

det(J - λI) = 0.

Рассчитаем:

|2-λ, 1 |

|3, 4-λ| = (2-λ)(4-λ) - 3*1

= λ^2 - 6λ + 8 - 3 = λ^2 - 6λ + 5.

Решим характеристическое уравнение:

λ^2 - 6λ + 5 = 0.

Найдем корни:

λ = [6 ± sqrt((6)^2 - 4*1*5)] / 2*1,

λ = [6 ± sqrt(36 - 20)] / 2,

λ = [6 ± sqrt(16)] / 2,

λ = (6 ± 4) / 2.

Итак, λ₁ = 5 и λ₂ = 1.

Так как оба собственных числа положительные и вещественные, то особая точка (0, 0) является неустойчивым узлом. В окрестности этой точки траектории будут расходиться.

Таким образом, на фазовой плоскости (x, y) вблизи особой точки (0, 0) мы имеем расходящиеся траектории, что характерно для неустойчивого узла. Визуально это можно представить в виде линий, расходящихся из центра (0, 0) по направлению основных векторов, определяемых по собственным числам и соответствующим им собственным векторам матрицы J.