Определить область определения, упростить функцию и проанализировать её поведение в окрестностях особых точек

Для начала определим предмет и раздел предмета данного задания:

Предмет: Математика

Раздел предмета: Алгебра (Функции и их графики)

Теперь перейдём к решению задания.

Нам дана функция \( f(x) = \frac{-6x}{x^2 - 25x} \).

1. Определим область определения функции \( f(x) \):

Функция \( f(x) \) имеет вид дроби. Дробь определена, когда знаменатель не равен нулю. Найдем значения \( x \), при которых знаменатель равен нулю:

\[ x^2 - 25x = 0 \]

Факторизуем выражение в знаменателе:

\[ x(x - 25) = 0 \]

Значения \( x \), при которых знаменатель равен нулю, это:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 25 \]

Таким образом, область определения функции \( f(x) \) будет \( x \neq 0 \) и \( x \neq 25 \).

2. Упростим выражение для функции \( f(x) \):

\[ f(x) = \frac{-6x}{x(x - 25)} \]

Мы видим, что \( x \) в числителе и \( x \) в знаменателе взаимно сократимы при условии, что \( x \neq 0 \):

\[ f(x) = \frac{-6}{x - 25} \quad \text{при} \quad x \neq 0 \text{ и } x \neq 25 \]

Теперь \( f(x) \) в упрощенном виде:

\[ f(x) = \frac{-6}{x - 25} \]

3. Исследуем поведение функции на краях области определения и приращении аргумента:

• При \( x \rightarrow 0^{+} \): \( f(x) \rightarrow \frac{-6}{0-25} = \frac{-6}{-25} = \frac{6}{25} \).
• При \( x \rightarrow 0^{-} \): \( f(x) \rightarrow \frac{-6}{0-25} = \frac{-6}{-25} = \frac{6}{25} \).
• При \( x \rightarrow 25^{+} \): \( f(x) \rightarrow \frac{-6}{25-25} = \) неопределенность, идет к минус бесконечности.
• При \( x \rightarrow 25^{-} \): \( f(x) \rightarrow \frac{-6}{25-25} = \) неопределенность, идет к плюс бесконечности.

Функция имеет вертикальную асимптоту \( x = 25 \).

Таким образом, итоговая упрощенная форма функции:

\[ f(x) = \frac{-6}{x - 25} \quad \text{при} \quad x \neq 0 \text{ и } x \neq 25 \]

Мы рассмотрели все действия: определили область определения, упростили функцию и проанализировали её поведение в окрестностях особых точек. Это завершает наше решение задания.