Определить интеграл дифференциального уравнения

Данный вопрос относится к предмету "математика" и разделу "дифференциальные уравнения".

Рассмотрим предложенное дифференциальное уравнение и найдем его общее решение. Заданное дифференциальное уравнение имеет вид: \[ y' = f(x) \cdot g(y) \] Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Для этого перепишем уравнение так, чтобы все функции от переменной \( y \) находились с одной стороны, и все функции от переменной \( x \) – с другой: \[ \frac{dy}{g(y)} = f(x) \, dx \] Теперь можно интегрировать обе стороны уравнения: \[ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \, dx \]

После интегрирования получим: \[ F(y) = G(x) + C \] где \( F(y) \) – первообразная от \( \frac{1}{g(y)} \), \( G(x) \) – первообразная от \( f(x) \), \( C \) – интегральная постоянная. Теперь вернемся к вариантам ответа. Видим, что вариант d соответствует нашему найденному общему решению: \[ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \, dx + C \] Следовательно, правильный ответ - вариант d.