Определить и записать структуру частного решения у° линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(x).

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение:

y'' - 16y = f(x)

Нужно определить структуру частного решения y_{\text{ч}}(x) в зависимости от вида правой части f(x).

a) f(x) = -3e^{4x}

Анализ:

Правая часть — экспоненциальная функция e^{4x}.

1. Сначала решим соответствующее однородное уравнение:

y'' - 16y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 - 16 = 0
r = \pm 4

Общее решение однородного уравнения:

y_{\text{о}}(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}

2. Поскольку e^{4x} — решение однородного уравнения, то в правой части возникает резонанс, и мы должны домножить предполагаемое частное решение на x.

Структура частного решения:

y_{\text{ч}}(x) = Ax e^{4x}

б) f(x) = \cos x - 4 \sin x

Анализ:

Правая часть — линейная комбинация синуса и косинуса. Это типичная ситуация, когда частное решение предполагается в виде:

y_{\text{ч}}(x) = A \cos x + B \sin x

Проверим, не являются ли \cos x и \sin x решениями однородного уравнения.

Напомним, что характеристическое уравнение:

r^2 - 16 = 0 \Rightarrow r = \pm 4

Это вещественные корни, а не мнимые, следовательно, \cos x и \sin x не входят в решение однородного уравнения.

Структура частного решения:

y_{\text{ч}}(x) = A \cos x + B \sin x

Ответ:

а) При f(x) = -3e^{4x}:

y_{\text{ч}}(x) = Ax e^{4x}

б) При f(x) = \cos x - 4 \sin x:

y_{\text{ч}}(x) = A \cos x + B \sin x