Определить частное решение дифференциального уравнения

Этот вопрос относится к предмету "Дифференциальные уравнения," который является разделом высшей математики.

В данном задании нам предложено определить частное решение дифференциального уравнения: \[ y'' + 4y = x^3 \] Поскольку правая часть уравнения является многочленом (в данном случае \(x^3\)), попробуем найти частное решение в виде многочлена той же степени или ниже. Многочлен третьей степени может быть представлен в виде: \[ y_p = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \]

Итак, подставим наш потенциальный многочлен в исходное дифференциальное уравнение:

1. Найдите вторую производную \( y_p \):

\[ y_p = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \]

Первая производная:

\[ y_p' = 3Ax^2 + 2Bx + C \]

Вторая производная:

\[ y_p'' = 6Ax + 2B \]

Теперь подставим \( y_p \) и \( y_p'' \) в оригинальное дифференциальное уравнение:

\[ y_p'' + 4y_p = x^3 \]

\[ 6Ax + 2B + 4(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = x^3 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 6Ax + 2B + 4Ax^3 + 4Bx^2 + 4Cx + 4D = x^3 \]

Объединим члены по степеням \(x\):

\[ 4Ax^3 + 4Bx^2 + (6A + 4C)x + (2B + 4D) = x^3 \]

Для того чтобы это выражение было равным правой части дифференциального уравнения \(x^3\), коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) должны быть равны соответствующим коэффициентам в правой части:

\[ 4A = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{1}{4} \]

\[ 4B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 0 \]

\[ 6A + 4C = 0 \quad \Rightarrow \quad C = -\frac{3A}{2} = -\frac{3}{8} \]

\[ 2B + 4D = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 0 \]

Подставим найденные значения обратно:

\[ y_p = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}/{8}x \]

Итак, частное решение дифференциального уравнения выглядит так:

\[ y_p = \frac{1}/{4}x^3 - \frac{3}/{8}x \]

Смотрим предложенные варианты и находим соответствующий. Таким образом, правильный вариант - это В: \[ y = x^3 \]