Определить будет ли процесс распределены нормально с нулевым средним и дисперсией единица, непрерывным

Давайте разберемся с вашим заданием.

Здесь рассматривается случайный процесс \(X(t)\), являющийся пределом другой последовательности процессов \(X_n(t)\), где \[ X_n(t) = \sin^n \left( \frac{\xi_n + 1}{n} \right), \] где \( \xi_n \) - случайная величина, а \( t \in (0, 1] \).

1. Нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией единица:
   • Чтобы процесс \(X(t)\) был нормально распределен с нулевым средним и дисперсией единица, необходимо, чтобы каждый \(X_n(t)\) стремился к нормальному распределению с указанными параметрами.
   • Однако, поскольку большинство значений функции синуса колеблются в диапазоне \([-1, 1]\), и в пределе сходимости с большой вероятностью будет стремиться к нулю, этот процесс не будет нормально распределен с нулевым средним и дисперсией единица.
2. Непрерывность:
   • Исследуем функцию \( \sin^n \left( \frac{\xi_n + 1}{n} \right) \).
   • При \( n \rightarrow \infty \), аргумент внутренней функции \( \left( \frac{\xi_n + 1}{n} \right) \) стремится к нулю с большой вероятностью для большинства значений случайной величины \( \xi_n \). Тогда \( \sin^n \left( \frac{\xi_n + 1}{n} \right) \approx 0\) для достаточно больших n.
   • Из этого следует, что предельный процесс \( X(t) = \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(t) \) будет нулевой функцией при любом \( t \in (0, 1] \). Таким образом, процесс \( X(t) \) непрерывен.
3. Дифференцируемость:
   • Дифференцируемость процесса \( X(t) \) требует анализа его предельного поведения более тщательно.
   • Но поскольку \( \sin^n \left( \frac{\xi_n + 1}{n} \right) \) стремится к 0, как \(n \rightarrow \infty\), тем самым derivative (производная) от него будет также стремиться к 0.

Итак, выводы:

• Процесс \( X(t) \) не будет нормально распределен с нулевым средним и дисперсией единица.
• Процесс \( X(t) \) непрерывен.
• Процесс \( X(t) \) дифференцируем.

Процесс будет константой ровно 0: \[ X(t) = 0 \] для любого \( t \in (0, 1] \). Надеюсь, эта информация была полезной!