Операционный метод решения дифференциальных уравнений

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (Операционный метод решения дифференциальных уравнений)

Дано дифференциальное уравнение с начальными условиями:

 x'' - 9x' + 18x = \cos 5t, \quad x(0) = 0, \quad x'(0) = 0. 

Шаг 1. Запишем уравнение и определим оператор

Обозначим оператор дифференцирования как p = \frac{d}{dt}, тогда уравнение перепишется в виде:

p^2 x - 9 p x + 18 x = \cos 5t.

Или

(p^2 - 9p + 18) x = \cos 5t.

Шаг 2. Найдем операторный вид решения

Применим операционный метод (оператор Лапласа). Обозначим преобразование функции x(t) как X(p).

Тогда:

(p^2 - 9p + 18) X(p) = \frac{p}{p^2 + 25}

Здесь мы использовали, что преобразование \cos 5t равно \frac{p}{p^2 + 25}.

Шаг 3. Найдем X(p)

X(p) = \frac{p}{(p^2 + 25)(p^2 - 9p + 18)}.

Разложим знаменатель:

p^2 - 9p + 18 = (p - 3)(p - 6).

Таким образом:

X(p) = \frac{p}{(p^2 + 25)(p - 3)(p - 6)}.

Шаг 4. Найдем частное решение обратным преобразованием

Для удобства найдем частичное разложение дроби:

 \frac{p}{(p^2 + 25)(p - 3)(p - 6)} = \frac{A p + B}{p^2 + 25} + \frac{C}{p - 3} + \frac{D}{p - 6}. 

Домножим обе части на знаменатель:

 p = (A p + B)(p - 3)(p - 6) + C (p^2 + 25)(p - 6) + D (p^2 + 25)(p - 3). 

Шаг 5. Найдем коэффициенты A, B, C, D

Подставим значения p = 3 и p = 6:

• При p=3:

3 = C (3^2 + 25)(3 - 6) = C (9 + 25)(-3) = C \cdot 34 \cdot (-3) = -102 C \Rightarrow C = -\frac{3}{102} = -\frac{1}{34}.

• При p=6:

6 = D (6^2 + 25)(6 - 3) = D (36 + 25)(3) = D \cdot 61 \cdot 3 = 183 D \Rightarrow D = \frac{6}{183} = \frac{2}{61}.

Шаг 6. Подставим найденные C и D и приравняем коэффициенты при степенях p

Раскроем левую часть:

 p = (A p + B)(p^2 - 9p + 18) + C(p^3 - 6 p^2 + 25 p - 150) + D(p^3 - 3 p^2 + 25 p - 75). 

Подставим C = -\frac{1}{34}, D = \frac{2}{61}.

Раскроем:

 p = (A p + B)(p^2 - 9p + 18) - \frac{1}{34}(p^3 - 6 p^2 + 25 p - 150) + \frac{2}{61}(p^3 - 3 p^2 + 25 p - 75). 

Раскроем первую часть:

 (A p + B)(p^2 - 9 p + 18) = A p^3 - 9 A p^2 + 18 A p + B p^2 - 9 B p + 18 B. 

Итого:

 p = A p^3 - 9 A p^2 + 18 A p + B p^2 - 9 B p + 18 B - \frac{1}{34} p^3 + \frac{6}{34} p^2 - \frac{25}{34} p + \frac{150}{34} + \frac{2}{61} p^3 - \frac{6}{61} p^2 + \frac{50}{61} p - \frac{150}{61}. 

Шаг 7. Сгруппируем по степеням p

• Коэффициент при p^3:

A - \frac{1}{34} + \frac{2}{61}

• Коэффициент при p^2:

-9 A + B + \frac{6}{34} - \frac{6}{61}

• Коэффициент при p:

18 A - 9 B - \frac{25}{34} + \frac{50}{61}

• Свободный член:

18 B + \frac{150}{34} - \frac{150}{61}

Шаг 8. Приравняем коэффициенты к соответствующим коэффициентам в выражении p

В левой части стоит только p, значит:

• Коэффициенты при p^3, p^2 и свободный член равны 0:

 \begin{cases} A - \frac{1}{34} + \frac{2}{61} = 0 \ -9 A + B + \frac{6}{34} - \frac{6}{61} = 0 \ 18 B + \frac{150}{34} - \frac{150}{61} = 0 \end{cases} 

• Коэффициент при p равен 1:

18 A - 9 B - \frac{25}{34} + \frac{50}{61} = 1.

Шаг 9. Решим систему

Для удобства вычислим дроби:

 \frac{1}{34} \approx 0.02941, \quad \frac{2}{61} \approx 0.03279, \quad \frac{6}{34} \approx 0.17647, \quad \frac{6}{61} \approx 0.09836, \quad \frac{25}{34} \approx 0.73529, \quad \frac{50}{61} \approx 0.81967, \quad \frac{150}{34} \approx 4.41176, \quad \frac{150}{61} \approx 2.45902. 

Подставим:

1. A - 0.02941 + 0.03279 = 0 \Rightarrow A + 0.00338 = 0 \Rightarrow A = -0.00338.

2. -9 A + B + 0.17647 - 0.09836 = 0 \Rightarrow -9 (-0.00338) + B + 0.07811 = 0 \Rightarrow 0.03042 + B + 0.07811 = 0 \Rightarrow B = -0.10853.

3. 18 B + 4.41176 - 2.45902 = 0 \Rightarrow 18 B + 1.95274 = 0 \Rightarrow 18 B = -1.95274 \Rightarrow B = -0.10848.

(Значения B близки, возьмем среднее B \approx -0.1085)

4. Проверка по коэффициенту при p:

18 A - 9 B - 0.73529 + 0.81967 = 1

Подставим:

18 \cdot (-0.00338) - 9 \cdot (-0.1085) - 0.73529 + 0.81967 = -0.06084 + 0.9765 + 0.08438 = 1.00004 \approx 1.

Шаг 10. Запишем частичное решение в операторной форме

 X(p) = \frac{-0.00338 p - 0.1085}{p^2 + 25} - \frac{1}{34} \cdot \frac{1}{p - 3} + \frac{2}{61} \cdot \frac{1}{p - 6}. 

Шаг 11. Найдем обратное преобразование

Известно, что:

• \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{p}{p^2 + a^2}\right\} = \cos a t,
• \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{p^2 + a^2}\right\} = \frac{1}{a} \sin a t,
• \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{p - \alpha}\right\} = e^{\alpha t}.

Используем это:

 x(t) = -0.00338 \cos 5 t - 0.1085 \cdot \frac{1}{5} \sin 5 t - \frac{1}{34} e^{3 t} + \frac{2}{61} e^{6 t}. 

Или

 x(t) = -0.00338 \cos 5 t - 0.0217 \sin 5 t - 0.02941 e^{3 t} + 0.03279 e^{6 t}. 

Шаг 12. Применим начальные условия

Проверим, что x(0) = 0 и x'(0) = 0.

• x(0) = -0.00338 \cdot 1 - 0.0217 \cdot 0 - 0.02941 \cdot 1 + 0.03279 \cdot 1 = -0.00338 - 0 - 0.02941 + 0.03279 = 0.

• Найдем производную:

 x'(t) = 0.00338 \cdot 5 \sin 5 t - 0.0217 \cdot 5 \cos 5 t - 0.02941 \cdot 3 e^{3 t} + 0.03279 \cdot 6 e^{6 t}. 

При t=0:

 x'(0) = 0.00338 \cdot 5 \cdot 0 - 0.0217 \cdot 5 \cdot 1 - 0.02941 \cdot 3 \cdot 1 + 0.03279 \cdot 6 \cdot 1 = 0 - 0.1085 - 0.08823 + 0.19674 = 0.00001 \approx 0. 

Шаг 13. Проверка решения

Подставим найденное x(t) в исходное уравнение:

x'' - 9 x' + 18 x = \cos 5 t.

Подстановка докажет правильность решения (в силу громоздкости вычислений можно проверить численно для нескольких значений t).

Ответ:

 \boxed{ x(t) = -0.00338 \cos 5 t - 0.0217 \sin 5 t - 0.02941 e^{3 t} + 0.03279 e^{6 t}. } 

Это решение системы с начальными условиями, найденное операционным методом, удовлетворяет заданному уравнению и начальному условию.