Однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Конечно! Давайте разберёмся с вашим заданием. Определение предмета: Это уравнение дифференциальное, и скорее всего его будут решать на предмете "математика", особенно в разделе "Дифференциальные уравнения". Определение раздела: Данное уравнение - это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Теперь давайте решим уравнение:

Решение уравнения второго порядка типа $\text{(}{y}^{″}+y=0\text{)}$

1. Общая форма решения дифференциального уравнения: Уравнение вида $\text{(}{y}^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0\text{)}$ решается через характеристическое уравнение. В данном случае у нас $\text{(}p=0\text{)}$ и $\text{(}q=1\text{)}$, поэтому характеристическое уравнение выглядит так: $\text{[}{\text{r}}^2+1=0.\text{]}$
2. Решение характеристического уравнения: $\text{[}{r}^2=-1.\text{]}$ Принимая во внимание комплексные числа, можно сказать: $\text{[}r=\pm i.\text{]}$
3. Общая форма решения: При комплексных корнях характеристического уравнения $\text{(}r=\alpha \pm i\beta \text{)}$, общее решение имеет вид: $\text{[}y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x)).\text{]}$ В нашем случае, $\text{(}alpha=0\text{)}$ и $\text{(}beta=1\text{)}$, так что общее решение будет: $\text{[}y(x)=C_1\cos (x)+C_2\sin (x).\text{]}$

Подведение итогов:

Решением дифференциального уравня $\text{(}{y}^{″}+y=0\text{)}$ является: $\text{[}y(x)=C_1\cos (x)+C_2\sin (x),\text{]}$ где $\text{(}{C}_1\text{)}$ и $\text{(}{C}_2\text{)}$ – произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуются начальные условия для конкретного решения, дайте знать!