Однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Конечно! Давайте разберёмся с вашим заданием. Определение предмета: Это уравнение дифференциальное, и скорее всего его будут решать на предмете "математика", особенно в разделе "Дифференциальные уравнения". Определение раздела: Данное уравнение - это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Теперь давайте решим уравнение:

Решение уравнения второго порядка типа \(y'' + y = 0\)

1. Общая форма решения дифференциального уравнения: Уравнение вида \(y'' + py' + qy = 0\) решается через характеристическое уравнение. В данном случае у нас \(p = 0\) и \(q = 1\), поэтому характеристическое уравнение выглядит так: \[\r^2 + 1 = 0.\]
2. Решение характеристического уравнения: \[r^2 = -1.\] Принимая во внимание комплексные числа, можно сказать: \[r = \pm i.\]
3. Общая форма решения: При комплексных корнях характеристического уравнения \(r = \alpha \pm i\beta\), общее решение имеет вид: \[y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)).\] В нашем случае, \(alpha = 0\) и \(beta = 1\), так что общее решение будет: \[y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x).\]

Подведение итогов:

Решением дифференциального уравня \(y'' + y = 0\) является: \[y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x),\] где \(C_1\) и \(C_2\) – произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуются начальные условия для конкретного решения, дайте знать!