Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Дано линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
x'(t) + 2x(t) = 4t, \, x(0) = 2

Решим это уравнение поэтапно.

1. Общий вид линейного уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
x'(t) + p(t)x(t) = g(t),
где p(t) и g(t) — функции от t.

В данном случае:
p(t) = 2,
g(t) = 4t.

2. Метод решения: метод интегрирующего множителя

Интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель \mu(t) находится по формуле:
\mu(t) = e^{\int p(t) \, dt}.

Здесь p(t) = 2, поэтому:
\mu(t) = e^{\int 2 \, dt} = e^{2t}.

Преобразование уравнения

Умножим исходное уравнение на интегрирующий множитель \mu(t) = e^{2t}:
e^{2t}x'(t) + 2e^{2t}x(t) = 4te^{2t}.

Левая часть уравнения теперь является производной произведения e^{2t}x(t):
\frac{d}{dt} \left(e^{2t}x(t)\right) = 4te^{2t}.

3. Интегрирование

Интегрируем обе части уравнения:
\int \frac{d}{dt} \left(e^{2t}x(t)\right) \, dt = \int 4te^{2t} \, dt.

Левая часть после интегрирования:
e^{2t}x(t).

Правая часть требует интегрирования по частям. Используем формулу интегрирования по частям:
\int u \, dv = uv - \int v \, du.

Пусть:
u = 4t, \, dv = e^{2t} \, dt.
Тогда:
du = 4 \, dt, \, v = \frac{1}{2}e^{2t}.

Интеграл:
\int 4te^{2t} \, dt = 4t \cdot \frac{1}{2}e^{2t} - \int \frac{1}{2} \cdot 4e^{2t} \, dt = 2te^{2t} - 2e^{2t} + C,
где C — произвольная константа интегрирования.

Итак, после интегрирования:
e^{2t}x(t) = 2te^{2t} - 2e^{2t} + C.

4. Выражение для x(t)

Разделим обе части уравнения на e^{2t}:
x(t) = 2t - 2 + Ce^{-2t}.

5. Учет начального условия

Начальное условие: x(0) = 2. Подставляем t = 0 в найденное решение:
x(0) = 2(0) - 2 + Ce^{-2 \cdot 0} = 2.

Упрощаем:
-2 + C = 2.
C = 4.

6. Окончательный ответ

Подставляем C = 4 в общее решение:
x(t) = 2t - 2 + 4e^{-2t}.

Ответ:
x(t) = 2t - 2 + 4e^{-2t}.