Общая теория решений дифференциальных уравнений с начальными условиями

Данный вопрос относится к предмету "Дифференциальные уравнения" и, более конкретно, к разделу "Общая теория решений дифференциальных уравнений с начальными условиями". Рассмотрим каждое утверждение:

1. Интегральная кривая уравнения \( y' = \ln y \), проходящая через точку \( (0, 10) \), убывает в окрестности точки \( x_0 = 0 \).

Рассмотрим заданное дифференциальное уравнение \( y' = \ln y \). Интегральная кривая — это решение дифференциального уравнения. Однако, в точке \( y = 10 \), \( \ln(10) \) положительное число, что означает, что производная \( y' > 0 \), следовательно, функция растет в этой точке, и в окрестности \( x_0 = 0 \) она убывать не может. Так что это утверждение неправильно.

2. Задача Коши \( y' = \cos x \), \( y(0) = 10 \) не имеет решения.

Уравнение \( y' = \cos x \) легко интегрируется. Общим решением будет \( y(x) = \sin x + C \), где \( C \) — константа интегрирования. Подставляем начальное условие \( y(0) = 10 \), чтобы найти \( C \):

\[ y(0) = \sin(0) + C = 10 \quad \Rightarrow \quad C = 10. \]

Таким образом, решением задачи является \( y(x) = \sin x + 10 \), и существование решения подтверждается. Утверждение неправильное.

3. Верных утверждений нет.

Уже выяснено, что оба предыдущих утверждения неверны, но обязательно проверим следующие утверждения.

4. Функция \( x(y) = 0 \), \( y \in \mathbb{R} \), является решением уравнения \( xy' = 0 \).

Рассмотрим уравнение \( xy' = 0 \). Здесь либо \( x = 0 \), либо \( y' = 0 \). Функция \( x(y) = 0 \) удовлетворяет тому факту, что при таком выборе значения \( x \), уравнение \( xy' = 0 \) всегда выполняется. Поэтому это утверждение верное.

• Функция \( x(y) = 0 \) является решением уравнения \( xy' = 0 \).

Итак, правильно выбрано утверждение: