Общее решение дифференциального уравнения задается формулой

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка)

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

y'' + y = 0

Это линейное, однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Шаг 1: Характеристическое уравнение

Чтобы найти общее решение, составим характеристическое уравнение:

r^2 + 1 = 0

Решим его:

r^2 = -1
r = \pm i

Таким образом, корни характеристического уравнения — это мнимые числа r = i и r = -i.

Шаг 2: Общее решение

Если корни характеристического уравнения комплексные и имеют вид r = \alpha \pm \beta i, то общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))

В нашем случае \alpha = 0 и \beta = 1, поэтому:

y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)

где C_1 и C_2 — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями (если они заданы).

Ответ:

y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) — общее решение дифференциального уравнения y'' + y = 0.