Общее решение дифференциального уравнения y′′−4y=0 имеет вид

Данное задание относится к области "Дифференциальные уравнения" в курсе высшей математики.

Задано дифференциальное уравнение: $\text{[}{y}^{″}-4y=0\text{]}$ Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти общее решение, нам нужно решить его характеристическое уравнение.

1. Запишем характеристическое уравнение: $\text{[}{r}^2-4=0\text{]}$
2. Решим характеристическое уравнение: Характеристическое уравнение является квадратным, и оно может быть решено стандартным методом: $\text{[}{r}^2-4=(r-2)(r+2)=0\text{]}$ Два корня характеристического уравнения: $\text{[}{r}_1=2\text{]}$ $\text{[}{r}_2=-2\text{]}$
3. Запишем общее решение дифференциального уравнения: Поскольку характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид: $\text{[}y(t)=C_1{e}^{r_{1}t}+C_2{e}^{r_{2}t}\text{]}$ где $\text{(}{C}_1\text{)}$ и $\text{(}{C}_2\text{)}$ – произвольные постоянные, а $\text{(}{r}_1\text{)}$ и $\text{(}{r}_2\text{)}$ – корни характеристического уравнения.
4. Подставим найденные значения корней: $\text{[}y(t)=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{-2t}\text{]}$ Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения: $\text{[}y(t)=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{-2t}\text{]}$ Это и будет итоговым решением.