Условие:
Общее решение дифференциального уравнения y′′−4y=0 имеет вид:
Решение:
Данное задание относится к области "Дифференциальные уравнения" в курсе высшей математики.
Задано дифференциальное уравнение: \[ y'' - 4y = 0 \] Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти общее решение, нам нужно решить его характеристическое уравнение.
- Запишем характеристическое уравнение: \[ r^2 - 4 = 0 \]
- Решим характеристическое уравнение: Характеристическое уравнение является квадратным, и оно может быть решено стандартным методом: \[ r^2 - 4 = (r - 2)(r + 2) = 0 \] Два корня характеристического уравнения: \[ r_1 = 2 \] \[ r_2 = -2 \]
- Запишем общее решение дифференциального уравнения: Поскольку характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид: \[ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \] где \( C_1 \) и \( C_2 \) – произвольные постоянные, а \( r_1 \) и \( r_2 \) – корни характеристического уравнения.
- Подставим найденные значения корней: \[ y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t} \] Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения: \[ y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t} \] Это и будет итоговым решением.