Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Предмет: Математика

Раздел предмета: Дифференциальные уравнения

Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения.

Уравнение: \( y'' = \cos(7x) \)

Решение:

1. Интегрируем правую часть уравнения дважды, чтобы получить \( y \).
2. Сначала найдём \( y' \), интегрируя \(\cos(7x) \):

\[ y' = \int \cos(7x) \, dx \]

3. Интеграл \(\int \cos(7x) \, dx\) равен:

\[ \int \cos(7x) \, dx = \frac{1}{7} \sin(7x) + C_1 \]

где \( C_1 \) — константа интегрирования.

Таким образом, найдём \( y' \):

\[ y' = \frac{1}{7} \sin(7x) + C_1 \]

4. Теперь интегрируем \( y'\), чтобы получить \( y \):

\[ y = \int \left( \frac{1}{7} \sin(7x) + C_1 \right) \, dx \]

5. Интеграл от \(\frac{1}{7} \sin(7x)\) равен:

\[ \int \frac{1}{7} \sin(7x) \, dx = -\frac{1}{49} \cos(7x) \]

(здесь использована цепное правило для интегрирования).

Интеграл от константы \( C_1 \) равен:

\[ \int C_1 \, dx = C_1 x \]

Таким образом, общее решение уравнения \( y \) будет:

\[ y = -\frac{1}{49} \cos(7x) + C_1 x + C_2 \]

где \( C_2 \) — ещё одна константа интегрирования.

Итак, полное решение:

\[ y = -\frac{1}{49} \cos(7x) + C_1 x + C_2 \]

Ответ:

\[ y = -\frac{1}{49} \cos(7x) + C_1 x + C_2 \]