Общее решение дифференциального уравнения, а затем частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию

Анализ задания: Ты задал задачу по теме "Дифференциальные уравнения", которая относится к курсу "Математического анализа" или "Дифференциальных уравнений". Тебе нужно найти общее решение дифференциального уравнения, а затем — частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

Дано дифференциальное уравнение: $\text{[}{y}^{\prime }=\sin x\text{]}$ и начальное условие: $\text{[}y(0)=0\text{]}$

Шаг 1: Найдём общее решение

Начнём с того, что найдём общее решение данного уравнения. Уравнение: $\text{[}{y}^{\prime }=\sin x\text{]}$ является простым линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Чтобы найти $\text{(}y(x)\text{)}$, надо проинтегрировать обе части уравнения относительно $\text{(}x\text{)}$.

$\text{[}\int y^{\prime }dx=\int \sin xdx\text{]}$

Интеграл от производной $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$ — это просто функция $\text{(}y(x)\text{)}$, то есть:

$\text{[}y(x)=\int \sin xdx\text{]}$

Интеграл от синуса:

$\text{[}\int \sin xdx=-\cos x+C\text{]}$

где $\text{(}C\text{)}$ — произвольная постоянная интегрирования. Таким образом, общее решение уравнения:

$\text{[}y(x)=-\cos x+C\text{]}$

Шаг 2: Найдём частное решение

Теперь используем начальное условие $\text{(}y(0)=0\text{)}$, чтобы найти постоянную $\text{(}C\text{)}$. Подставляем это условие в полученное общее решение:

$\text{[}y(0)=-\cos (0)+C=0\text{]}$

Так как $\text{(}\cos (0)=1\text{)}$, уравнение примет вид:

$\text{[}-1+C=0\text{]}$

Отсюда:

$\text{[}C=1\text{]}$

Ответ: Частное решение уравнения

Подставляем найденную $\text{(}C=1\text{)}$ в общее решение:

$\text{[}y(x)=-\cos x+1\text{]}$

Итак, частное решение, удовлетворяющее начальному условию $\text{(}y(0)=0\text{)}$, выглядит так:

$\text{[}y(x)=1-\cos x\text{]}$