Общее решение дифференциального уравнения, а затем частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию

Анализ задания: Ты задал задачу по теме "Дифференциальные уравнения", которая относится к курсу "Математического анализа" или "Дифференциальных уравнений". Тебе нужно найти общее решение дифференциального уравнения, а затем — частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

Дано дифференциальное уравнение: \[ y' = \sin x \] и начальное условие: \[ y(0) = 0 \]

Шаг 1: Найдём общее решение

Начнём с того, что найдём общее решение данного уравнения. Уравнение: \[ y' = \sin x \] является простым линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Чтобы найти \(y(x)\), надо проинтегрировать обе части уравнения относительно \(x\).

\[ \int y' \, dx = \int \sin x \, dx \]

Интеграл от производной \(y'\) — это просто функция \(y(x)\), то есть:

\[ y(x) = \int \sin x \, dx \]

Интеграл от синуса:

\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]

где \(C\) — произвольная постоянная интегрирования. Таким образом, общее решение уравнения:

\[ y(x) = -\cos x + C \]

Шаг 2: Найдём частное решение

Теперь используем начальное условие \(y(0) = 0\), чтобы найти постоянную \(C\). Подставляем это условие в полученное общее решение:

\[ y(0) = -\cos(0) + C = 0 \]

Так как \( \cos(0) = 1 \), уравнение примет вид:

\[ -1 + C = 0 \]

Отсюда:

\[ C = 1 \]

Ответ: Частное решение уравнения

Подставляем найденную \(C = 1\) в общее решение:

\[ y(x) = -\cos x + 1 \]

Итак, частное решение, удовлетворяющее начальному условию \(y(0) = 0\), выглядит так:

\[ y(x) = 1 - \cos x \]