Неоднородное уравнение теплопроводности

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (уравнения в частных производных, начально-краевая задача для уравнения теплопроводности)

Задача 9:

Рассматривается неоднородное уравнение теплопроводности:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x,t), 

с начальными и граничными условиями:

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 \sin x, \quad 0 < x < 2\pi, 

 u(0,t) = u(2\pi,t) = 0, \quad t > 0. 

Шаг 1: Представим решение в виде ряда Фурье

Так как граничные условия однородные (нулевые), используем метод разделения переменных и разложим решение в ряд по синусам:

 u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} T_n(t) \sin\left(\frac{n x}{2}\right). 

Проверим, какие синусы участвуют в начальном условии:

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 \sin x. 

То есть:

• Первый член: \sin\left(\frac{x}{2}\right) — соответствует n = 1
• Второй член: -3 \sin x — соответствует n = 2, так как \sin x = \sin\left(\frac{2x}{2}\right)

Следовательно, решение можно искать в виде:

 u(x,t) = T_1(t) \sin\left(\frac{x}{2}\right) + T_2(t) \sin x. 

Шаг 2: Подставим в исходное уравнение

Вычислим производные:

• Временная производная:  \frac{\partial u}{\partial t} = T_1'(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) + T_2'(t)\sin x. 

• Вторая производная по x:  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\frac{1}{4} T_1(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) - T_2(t)\sin x. 

Подставим в уравнение:

 T_1'(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) + T_2'(t)\sin x = a^2\left( -\frac{1}{4} T_1(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) - T_2(t)\sin x \right) + f(x,t). 

Для того чтобы это равенство выполнялось при всех x, необходимо, чтобы функции при одинаковых базисных функциях (синусах) совпадали. Это дает:

 T_1'(t) + \frac{a^2}{4} T_1(t) = F_1(t), 

 T_2'(t) + a^2 T_2(t) = F_2(t), 

где F_1(t) и F_2(t) — коэффициенты разложения f(x,t) по базису \sin\left(\frac{x}{2}\right) и \sin x соответственно.

Но в условии задачи функция f(x,t) не задана, значит, предполагается, что уравнение однородное, то есть:

 f(x,t) = 0. 

Тогда получаем:

 T_1'(t) + \frac{a^2}{4} T_1(t) = 0, \quad T_2'(t) + a^2 T_2(t) = 0. 

Шаг 3: Решим полученные ОДУ

Это линейные однородные ОДУ первого порядка:

• Решение первого:  T_1(t) = C_1 e^{- \frac{a^2}{4} t} 

• Решение второго:  T_2(t) = C_2 e^{- a^2 t} 

Шаг 4: Используем начальное условие

Из условия:

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 \sin x. 

Сравниваем с:

 u(x,0) = T_1(0) \sin\left(\frac{x}{2}\right) + T_2(0) \sin x = C_1 \sin\left(\frac{x}{2}\right) + C_2 \sin x. 

Значит:

 C_1 = 1, \quad C_2 = -3. 

Шаг 5: Запишем окончательное решение

 u(x,t) = e^{- \frac{a^2}{4} t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{- a^2 t} \sin x. 

Шаг 6: Проверка

Проверим, что функция удовлетворяет уравнению:

Вычислим \frac{\partial u}{\partial t}:

 \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{a^2}{4} e^{- \frac{a^2}{4} t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 3 a^2 e^{- a^2 t} \sin x. 

Вычислим \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}:

 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\frac{1}{4} e^{- \frac{a^2}{4} t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{- a^2 t} \sin x. 

Теперь подставим в уравнение:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x,t), 

Левая часть:

 -\frac{a^2}{4} e^{- \frac{a^2}{4} t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 3 a^2 e^{- a^2 t} \sin x 

Правая часть:

 a^2 \left( -\frac{1}{4} e^{- \frac{a^2}{4} t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{- a^2 t} \sin x \right) 

Совпадают ⇒ решение корректно.

Ответ:

 \boxed{u(x,t) = e^{- \frac{a^2}{4} t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{- a^2 t} \sin x}