Необходимо выполнить исследование системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Условие:

Определить состояния равновесия системы

Условие: Определить состояния равновесия системы

Решение:

Предмет и раздел: Задание относится к дисциплине "Математика", а именно к области "дифференциальные уравнения". Раздел — качественное исследование систем дифференциальных уравнений.

Задание: Необходимо выполнить исследование системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
\[ \frac{dx}{dt} = -x(x - 3) - y ≡ P(x,y), \tag{2.1.8} \] \[ \frac{dy}{dt} = \frac{1}{4}y \left(x - \frac{3}{2}\right) ≡ Q(x,y), \tag{2.1.9} \]
Требуется:
  1. Определить состояния равновесия системы.
  2. Построить линеаризованную систему.
  3. Определить тип состояния равновесия.
Рассмотрим задачи последовательно:
1. Определение состояния равновесия.
Состояние равновесия (стационарное состояние) — это точка, в которой производные \(\frac{dx}{dt}\) и \(\frac{dy}{dt}\) равны нулю, то есть: \[ P(x, y) = 0 \quad \text{и} \quad Q(x, y) = 0. \] Подставим функции \(P(x, y)\) и \(Q(x, y)\): \[ -x(x - 3) - y = 0 \quad \text{и} \quad \frac{1}{4} y \left( x - \frac{3}{2} \right) = 0. \]
Рассмотрим уравнение для \(Q(x, y)\):
\[ \frac{1}{4} y \left( x - \frac{3}{2} \right) = 0. \] Из этого уравнения следует, что либо \(y = 0\) , либо \(x = \frac{3}{2}\). Случай 1: \( y = 0 \) . Подставим \(y = 0\) в первое уравнение: \[ -x(x - 3) = 0 . \] Это уравнение распадается на: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3. \] Значит, в этом случае точки равновесия — \( (0, 0) \) и \( (3, 0) \). Случай 2: \( x = \frac{3}{2} \). Подставим \(x = \frac{3}{2}\) во второе уравнение: \[ \frac{1}{4} y \left( \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right) = 0, \] это тождественно равно нулю при любом \(y\). Поэтому при \(x = \frac{3}{2}\) первое уравнение станет: \[ -\frac{3}{2} \left( \frac{3}{2} - 3 \right) - y = 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{3}{2} \left( -\frac{3}{2} \right) - y = 0, \] что даст: \[ \frac{9}{4} - y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{9}{4}. \] Итак, еще одна точка равновесия — \( \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) \). Итог по первому пункту: Точки равновесия системы: 1. \(O_1 = (0, 0)\) , 2. \(O_2 = (3, 0)\) , 3. \(O_3 = \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right)\).
2. Линеаризация системы в точке равновесия с положительными координатами.
Возьмем равновесную точку \(O_* = \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right)\). Чтобы построить линеаризованную систему в окрестности точки равновесия, нам нужно найти Якобиан системы, то есть матрицу частных производных функций \(P(x, y)\) и \(Q(x, y)\) по переменным \(x\) и \(y\): \[ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial P}{\partial x} & \frac{\partial P}{\partial y} \\ \frac{\partial Q}{\partial x} & \frac{\partial Q}{\partial y} \end{pmatrix}. \] Найдем частные производные. Функция \(P(x, y)\): \[ P(x, y) = -x(x - 3) - y. \] \] \[ \frac{\partial P}{\partial x} = - (2x - 3), \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1. \] Функция \(Q(x, y)\): \[ Q(x, y) = \frac{1}{4} y \left( x - \frac{3}{2} \right). \] \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{4} y, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{1}{4} \left( x - \frac{3}{2} \right). \] Теперь подставим в эти производные точку \(O_* = \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right)\): \[ \frac{\partial P}{\partial x}(O_*) = -(3 - 3) = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y}(O_*) = -1, \] \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x}(O_*) = \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{16}, \quad \frac{\partial Q}{\partial y}(O_*) = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2} - \frac{3/{2} \right) = 0. \] Итак, матрица Якобиана в точке \(O_*\): \[ J(O_*) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{9}{16} & 0 \end{pmatrix}. \]
3. Определение типа состояния равновесия.
Для этого найдем собственные значения (λ) матрицы Якобиана, решив характеристическое уравнение: \[ \det(J - \lambda I) = 0, \] где \(I\) — единичная матрица. \[ \det\begin{pmatrix} 0 - \lambda & -1 \\ \frac{9}{16} & 0 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - \left( -\frac{9}{16} \right) = \lambda^2 + \frac{9/{16} = 0, \] \] \[ \lambda^2 = -\frac{9}/{16} \quad \Rightarrow \quad \lambda = \pm i \frac{3}/{4}. \] Собственные значения — чисто мнимые числа. Это означает, что в точке \(O_* = \left( \frac{3}{2}, \frac{9/{4} \right)\) равновесие является центром, тип поведения соответствует замкнутым траекториям (циклические движения).
Итоговое решение:
  1. Точки равновесия системы: \( (0, 0) \) , \( (3, 0) \) , \( \left( \frac{3/{2}, \frac{9/{4} \right) \).
  2. Линеаризованная система в точке \(O_* = \left( \frac{3/{2}, \frac{9/{4} \right)\) : Якобиан \(J(O_*) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{9/{16} & 0 \end{pmatrix}\).
  3. Тип равновесия в точке \(O_* = \left( \frac{3/{2}, \frac{9/{4} \right)\) : центр (циклическая траектория).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн

Виды работ: