Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Это задание по предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка".

Мы имеем дифференциальное уравнение: xy' + y = y^2 * ln(x), с начальными условиями y(1) = 1. Нужно найти y(e).

1. Приведем уравнение к стандартному виду

Разрешим его относительно y': xy' = y^2 * ln(x) - y. Разделим обе части уравнения на x: y' = y^2 * ln(x) / x - y / x.

2. Перепишем уравнение

Это уравнение можно переписать в виде: dy/dx = y^2 * ln(x) / x - y / x.

3. Разделение переменных

Разделим переменные, чтобы получить форму, удобную для интегрирования: dy / (y^2 - y) = ln(x) / x dx.

4. Частичное разложение

Разделим дробь в левой части и применим частичное разложение: dy / (y(y - 1)). Мы можем записать это как A/y + B/(y - 1) = 1/(y(y - 1)). Решая это уравнение, получаем: A = 1, B = -1. Тогда: (1/y - 1/(y - 1)) dy = ln(x) / x dx.

5. Интегрирование обеих частей

Интегрируем обе части: ∫(1/y - 1/(y - 1)) dy = ∫ln(x) / x dx. Интегрируя левую часть, получаем: ln|y| - ln|y - 1| = ln|x|/2 + C.

6. Применение начальных условий

Применяя начальные условия y(1) = 1, найдем C: ln|1| - ln|1 - 1| = ln(1)/2 + C, 0 = 0 + C, C = 0.

7. Упрощение уравнения

Теперь у нас: ln|y| - ln|y - 1| = ln|x|/2. Это можно переписать как: ln|y / (y - 1)| = ln(x^1/2). Переходим от логарифмов к экспоненциальной форме: |y / (y - 1)| = x^1/2.

8. Подстановка x = e

У нас получилась зависимость y от x. Подставим x = e, чтобы найти y(e): y / (y - 1) = e^1/2 = √e.

9. Решение уравнения для y

Решим это уравнение для y: y = √e(y - 1). Переносим все члены на одну сторону: y - √e*y = -√e. Отсюда y(1 - √e) = -√e и y = -√e / (1 - √e).

10. Ответ

Это значение y при x = e.

Ответ: y(e) = -√e / (1 - √e).