Найти значения при которых касательные к графику функции параллельны прямой

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Нам нужно найти значения ( x ), при которых касательные к графику функции ( f(x) = \frac{4x - x^2}{4} ) параллельны прямой ( y = x ).

Пошаговое решение:

1. Условие параллельности прямых:
   Касательная к графику функции параллельна прямой ( y = x ), если их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой ( y = x ) равен 1. Таким образом, производная функции ( f(x) ), которая задаёт угловой коэффициент касательной, должна быть равна 1.

2. Найдём производную функции ( f(x) ):
   Функция ( f(x) = \frac{4x - x^2}{4} ).
   Рассмотрим её в упрощённом виде:
   f(x) = \frac{4x}{4} - \frac{x^2}{4} = x - \frac{x^2}{4}.

Теперь найдём производную:
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x - \frac{x^2}{4}\right) = 1 - \frac{2x}{4} = 1 - \frac{x}{2}.

3. Приравняем производную к 1:
   Чтобы касательная была параллельна прямой ( y = x ), выполняется условие:
   f'(x) = 1.
   Подставим производную:
   1 - \frac{x}{2} = 1.

4. Решим уравнение:
   1 - \frac{x}{2} = 1 \implies -\frac{x}{2} = 0 \implies x = 0.

Ответ:

Касательная к графику функции ( f(x) = \frac{4x - x^2}{4} ) параллельна прямой ( y = x ) при ( x = 0 ).