Найти вторую производную этой функции и подставить в неё ( x=1)

Данная задача относится к курсу математического анализа, разделу нахождения производных функций. Рассмотрим функцию \( y = (x^2 - 1)^2 \).

Нам нужно найти вторую производную этой функции и подставить в неё \( x=1 \).

1. Найдём первую производную функции \( y \). Используем правило цепочки:

\[ y = (u(x))^2, \quad \text{где} \quad u(x) = x^2 - 1 \]

Производная функции \( y = u^2 \) по \( u \) равна \( 2u \). Следовательно, производная \( y \) по \( x \):

\[ \frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{du}{dx} \]

Найдём производную \( u(x) \):

\[ u(x) = x^2 - 1, \quad \frac{du}{dx} = 2x \]

Подставим \( u = x^2 - 1 \) и \( \frac{du}{dx} = 2x \) в выражение для \( \frac{dy}{dx} \) :

\[ \frac{dy}{dx} = 2(x^2 - 1) \cdot 2x = 4x(x^2 - 1) \]

2. Найдём вторую производную функции \( y \). Для этого применим правило произведения:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( 4x(x^2 - 1) \right) \]

Используем правило Лейбница для производной произведения:

\[ \frac{d}{dx} [uv] = u'v + uv' \]

В данном случае \( u = 4x \), а \( v = x^2 - 1 \). Производные этих функций:

\[ u' = 4, \quad v' = 2x \]

Подставляем в выражение для второй производной:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = 4(x^2 - 1) + 4x \cdot 2x = 4(x^2 - 1) + 8x^2 = 4x^2 - 4 + 8x^2 = 12x^2 - 4 \]

3. Подставим \( x = 1 \) во вторую производную \( \frac{d^2y}{dx^2} \):

\[ \frac{d^2y}{dx^2} \bigg|_{x=1} = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 \]

Таким образом, правильный ответ — \( 8 \).