Найдите решение дифференциального уравнения

Данное задание относится к предмету "Математика", раздел "Дифференциальные уравнения", а конкретно это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Записано уравнение: \[ y'' - 10y = 0 \]

1. Запишем характеристическое уравнение:

Уравнение второго порядка можно решить через характеристическое уравнение: \[ r^2 - 10 = 0 \]

2. Решаем характеристическое уравнение:

Это квадратное уравнение имеет вид: \[ r^2 = 10 \]

Отсюда находим корни: \[ r = \pm \sqrt{10} \]

3. Записываем общее решение дифференциального уравнения:

Поскольку у нас два различных действительных корня \( r_1 = \sqrt{10} \) и \( r_2 = -\sqrt{10} \), общее решение имеет вид: \[ y(x) = C_1 e^{\sqrt{10}x} + C_2 e^{-\sqrt{10}x} \]

Где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий, если они заданы.

Ответ:

Общее решение дифференциального уравнения: \[ y(x) = C_1 e^{\sqrt{10}x} + C_2 e^{-\sqrt{10}x} \]