Найти вид общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (не вычисляя коэффициентов)

Данный вопрос относится к теме дифференциальных уравнений, а точнее, к изучению линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнение, которое тебе дано, имеет вид: \( y'' - 4y' + 3y = xe^x + \cos 2x \)

Шаги для нахождения общего решения:

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из двух частей:

1. Общее решение соответствующего однородного уравнения (решение для правой части равной нулю).
2. Частное решение самого неоднородного уравнения (решение с учётом правой части уравнения).

1. Решение однородного уравнения

Сначала решим однородное уравнение вида: \( y'' - 4y' + 3y = 0 \)

Для этого находим характеристики (характеристическое уравнение): \( r^2 - 4r + 3 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение: \( r^2 - 4r + 3 = (r - 3)(r - 1) = 0 \)

Корни \( r_1 = 3 \) и \( r_2 = 1 \). Значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: \( y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^x \) где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные.

2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения

Теперь найдём частное решение уравнения: \( y'' - 4y' + 3y = xe^x + \cos 2x \)

Правую часть уравнения представим в виде суммы двух функций: \( xe^x \) и \( \cos 2x \). Мы отдельно найдем частное решение для каждой из этих функций.

Частное решение для \( xe^x \) Так как одна из функций в однородном решении имеет вид \( e^x \), для функции \( xe^x \) предполагаем частное решение в виде: \( y_p^{(1)} = (Ax + B)e^x \) (где \( A \) и \( B \) — коэффициенты, которые были бы найдены при подстановке в уравнение, но здесь это не требуется).

Частное решение для \( \cos 2x \) Для правой части \( \cos 2x \) предлагается частное решение в виде: \( y_p^{(2)} = C\cos 2x + D\sin 2x \) где \( C \) и \( D \) — коэффициенты, которые также можно найти при подстановке в уравнение, но это здесь не требуется.

3. Общее решение

Теперь общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения: \( y = y_h + y_p^{(1)} + y_p^{(2)} \)

Подставляем наши выражения: \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^x + (Ax + B)e^x + C\cos 2x + D\sin 2x \) Это и есть общий вид решения данного дифференциального уравнения: \( y = C_1 e^{3x} + (C_2 + B + Ax) e^x + C \cos 2x + D \sin 2x \)

Ответ:

Общее решение имеет вид: \( y = C_1 e^{3x} + (C_2 + B + Ax) e^x + C \cos 2x + D \sin 2x \)