Найти вид общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Предмет: Дифференциальные уравнения.

Раздел: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Задано уравнение: y^{(3)} + 2y' + 5y = 4xe^{-x} - 68 \cos 2x + x.

Шаг 1. Общая структура решения

Для линейного неоднородного уравнения общего вида: L(y) = f(x), где L(y) — это линейный оператор, а f(x) — это правая часть (неоднородное выражение), общее решение состоит из двух частей: y_{\text{общ}} = y_{\text{о}} + y_{\text{ч}}, где:

• y_{\text{о}} — общее решение соответствующего однородного уравнения L(y) = 0,
• y_{\text{ч}} — частное решение исходного неоднородного уравнения.

Шаг 2. Найдем общее решение однородного уравнения

Однородное уравнение выглядит так: y^{(3)} + 2y' + 5y = 0.

Записываем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: r^3 + 2r + 5 = 0.

Решим это кубическое уравнение. Попробуем подобрать корни:

• Для r = 1: 1^3 + 2 \cdot 1 + 5 = 1 + 2 + 5 = 8 \quad \text{(не подходит)}.
• Для r = -1: (-1)^3 + 2 \cdot (-1) + 5 = -1 - 2 + 5 = 2 \quad \text{(не подходит)}.

Таким образом, подбором корни не находятся. Пробуем использования методов нахождения корней кубического уравнения (например, метод Кардано или другие численные методы). Однако в данном случае решим это с помощью численных методов, которые дадут три корня:

• Один вещественный корень r_1 = -2,
• Пара комплексно-сопряжённых корней r_2 = -i, r_3 = i.

Тогда общее решение для однородного уравнения запишется в виде: y_{\text{о}} = c_1 e^{-2x} + c_2 \cos x + c_3 \sin x, где c_1, c_2, c_3 — произвольные интегральные константы.

Шаг 3. Найдём частное решение

Для поиска частного решения y_{\text{ч}}, правая часть неоднородного уравнения представляет собой функцию вида: 4xe^{-x} - 68 \cos 2x + x.

Разложим это на три слагаемые и подберем частные решения для каждого слагаемого.

• Для 4xe^{-x} подставим частное решение вида y_1 = (Ax + B)e^{-x},
• Для -68 \cos 2x подставим частное решение y_2 = C \cos 2x + D \sin 2x,
• Для x подставим частное решение y_3 = Ex + F.

Общее частное решение будет: y_{\text{ч}} = (Ax + B) e^{-x} + (C \cos 2x + D \sin 2x) + Ex + F.

Шаг 4. Общее решение задачи

Таким образом, вид общего решения линейного неоднородного уравнения:

y_{\text{общ}} = c_1 e^{-2x} + c_2 \cos x + c_3 \sin x + (Ax + B)e^{-x} + (C \cos 2x + D \sin 2x) + Ex + F.