Предмет: Комплексный анализ.
Раздел: Аналитические функции и условия Коши-Римана.
Условие: По заданной мнимой части \( v(x, y) = \frac{y}{x^2 + y^2} \), требуется найти вещественную часть аналитической функции \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \), где \( z = x + iy \).
Пошаговое решение:
Мы знаем, что если функция \( f(z) \) аналитическая (или голоморфная), это означает, что её вещественная часть \( u(x, y) \) и мнимая часть \( v(x, y) \) удовлетворяют условиям Коши-Римана: \[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{{и}} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.
\] Нам известна мнимая часть функции \( v(x, y) = \frac{y}{x^2 + y^2} \). Используя эти условия, найдем вещественную часть \( u(x, y) \). 1. Найдем частные производные для \( v(x, y) \):
Для начала находим производные \( \frac{\partial v}{\partial x} \) и \( \frac{\partial v}{\partial y} \). \[
v(x, y) = \frac{y}{x^2 + y^2}
\] Производная \( \frac{\partial v}{\partial x} \):
Применяем правила дифференцирования для дроби (правило частного): \[
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{0 \cdot (x^2 + y^2) - y \cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
\] Производная \( \frac{\partial v}{\partial y} \):
\[
\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{(x^2 + y^2) \cdot 1 - y \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 + y^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\] 2. Используем условия Коши-Римана:
Теперь воспользуемся условиями Коши-Римана для нахождения производных \( u(x, y) \). Из первого условия \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \): \[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\] Из второго условия \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \): \[
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}
\] 3. Найдем функцию \( u(x,y) \):
Теперь мы должны найти функцию \( u(x, y) \), используя полученные частные производные. Эти уравнения должны быть согласованы. Восстановим \( u(x, y) \) по частным производным. Начнем с того, что заметим, что выражения для производных \( \frac{\partial u}{\partial x} \) и \( \frac{\partial u}{\partial y} \) напоминают производные полярных координат, но попробуем проинтегрировать напрямую. Интегрирование по \( x \):
Интегрируем выражение для \( \frac{\partial u}{\partial x} \) по \( x \): \[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\] При интегрировании по \( x \) это приводит нас к функции \( u \), которая похожа на \( \frac{\ln(x^2 + y^2)}{2} \), поскольку производная логарифма даёт аналогичные результаты. Однако детальное решение-интегрирование сложное и требует знания потенциальных логарифмических функций. Выходит, \(u(x,y)=