Найти уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и дифференциальное исчисление

Задание требует найти уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности \( S: 2x^2 - y^2 + 2z^2 + xy + xz = 3 \) в точке \( M_0(1, 2, 1) \).

1. Уравнение касательной плоскости

Для нахождения уравнения касательной плоскости нам понадобятся частные производные функции \( F(x, y, z) = 2x^2 - y^2 + 2z^2 + xy + xz - 3 \) в точке \( M_0(1, 2, 1) \).

\[ \begin{cases} \frac{\partial F}{\partial x} = 4x + y + z \\ \frac{\partial F}{\partial y} = -2y + x \\ \frac{\partial F}{\partial z} = 4z + x \end{cases} \]

Подставим координаты точки \( M_0(1, 2, 1) \):

\[ \frac{\partial F}{\partial x} \bigg|_{(1,2,1)} = 4(1) + 2 + 1 = 7 \]

\[ \frac{\partial F}{\partial y} \bigg|_{(1,2,1)} = -2(2) + 1 = -3 \]

\[ \frac{\partial F}{\partial z} \bigg|_{(1,2,1)} = 4(1) + 1 = 5 \]

Теперь используем уравнение касательной плоскости:

\[ F_x (x_0,y_0,z_0)(x - x_0) + F_y (x_0,y_0,z_0)(y - y_0) + F_z (x_0,y_0,z_0)(z - z_0) = 0 \]

\[ 7(x - 1) - 3(y - 2) + 5(z - 1) = 0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 7x - 7 - 3y + 6 + 5z - 5 = 0 \]

\[ 7x - 3y + 5z - 6 = 0 \]

Уравнение касательной плоскости: \( 7x - 3y + 5z - 6 = 0 \)

2. Уравнение нормальной прямой

Вектор нормали к касательной плоскости совпадает с градиентом функции \(\nabla F\) в точке \( M_0 \). Градиент \( \nabla F = (7, -3, 5) \). Параметрическое уравнение нормальной прямой в точке \( M_0 \):

\[ \begin{cases} x = 1 + 7t \\ y = 2 - 3t \\ z = 1 + 5t \end{cases} \]

Таким образом, уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности \(S\) в данной точке \( M_0(1, 2, 1) \) равны:

Касательная плоскость: \( 7x - 3y + 5z - 6 = 0 \)

Нормальная прямая: \[ \begin{cases} x = 1 + 7t \\ y = 2 - 3t \\ z = 1 + 5t \end{cases} \]