Найти три первых, отличных от нуля, слагаемых в разложении по формуле Маклорена для решения задачи Коши

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, разложение в ряд Маклорена, задача Коши

Задание: Найти три первых, отличных от нуля, слагаемых в разложении по формуле Маклорена для решения задачи Коши:

y' = f(x, y), \quad y(0) = y_0

Для варианта 8 из таблицы:

f(x, y) = e^y + 2xy, \quad y(0) = 1

Шаг 1: Формула Маклорена

Решение задачи Коши можно искать в виде ряда Маклорена:

y(x) = y_0 + \frac{y'(0)}{1!}x + \frac{y''(0)}{2!}x^2 + \frac{y^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \dots

Наша цель — найти первые три ненулевых слагаемых. Для этого нужно вычислить:

• y'(0)
• y''(0)
• y^{(3)}(0)

Шаг 2: Вычисление производных

1. Первая производная:

y'(x) = f(x, y) = e^{y(x)} + 2x y(x)

Подставим x = 0 и y(0) = 1:

y'(0) = e^{y(0)} + 2 \cdot 0 \cdot y(0) = e^1 = e

2. Вторая производная:

Продифференцируем y'(x) = e^{y(x)} + 2x y(x) по x:

y''(x) = \frac{d}{dx}(e^{y(x)}) + \frac{d}{dx}(2x y(x))

Используем правило цепочки:

\frac{d}{dx}(e^{y(x)}) = e^{y(x)} \cdot y'(x)

\frac{d}{dx}(2x y(x)) = 2 y(x) + 2x y'(x)

Итак:

y''(x) = e^{y(x)} y'(x) + 2 y(x) + 2x y'(x)

Подставим x = 0, y(0) = 1, y'(0) = e:

y''(0) = e^{1} \cdot e + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot e = e^2 + 2

3. Третья производная:

Продифференцируем y''(x):

y''(x) = e^{y(x)} y'(x) + 2 y(x) + 2x y'(x)

Теперь дифференцируем каждый член:

1. \frac{d}{dx}(e^{y(x)} y'(x)) — произведение:

\frac{d}{dx}(e^{y} y') = e^{y} (y')^2 + e^{y} y''

2. \frac{d}{dx}(2 y(x)) = 2 y'(x)

3. \frac{d}{dx}(2x y'(x)) = 2 y'(x) + 2x y''(x)

Собираем:

y^{(3)}(x) = e^{y} (y')^2 + e^{y} y'' + 2 y' + 2 y' + 2x y''

y^{(3)}(x) = e^{y} (y')^2 + e^{y} y'' + 4 y' + 2x y''

Подставим x = 0, y = 1, y' = e, y'' = e^2 + 2:

y^{(3)}(0) = e \cdot e^2 + e \cdot (e^2 + 2) + 4e + 0 = e^3 + e(e^2 + 2) + 4e = e^3 + e^3 + 2e + 4e = 2e^3 + 6e

Шаг 3: Разложение в ряд Маклорена

Подставим найденные значения в формулу:

 y(x) = y_0 + \frac{y'(0)}{1!}x + \frac{y''(0)}{2!}x^2 + \frac{y^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \dots 

 y(x) = 1 + e x + \frac{e^2 + 2}{2} x^2 + \frac{2e^3 + 6e}{6} x^3 + \dots 

Ответ:

Три первых, отличных от нуля, слагаемых разложения:

 y(x) = 1 + e x + \frac{e^2 + 2}{2} x^2 + \dots