Найти три первых отличных от нуля члена разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, степенные ряды

Для решения задачи найдем три первых отличных от нуля члена разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд.

Дано уравнение:
y' + 2y^2 = e^x, \, y(0) = 0.

Предположим, что решение представляется в виде степенного ряда:
y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots.

Его производная:
y'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots.

Подставим разложения y(x) и y'(x) в уравнение:
y' + 2y^2 = e^x.
Разложение для e^x:
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots.

Подстановка степенных рядов

Подставим разложения:
\left(a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots\right) + 2\left(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots\right)^2 = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots.

Шаг 1: Найдем коэффициенты

1. Коэффициент при x^0:
   a_1 + 2a_0^2 = 1.
   Так как a_0 = 0 (по условию y(0) = 0), то:
   a_1 = 1.

2. Коэффициент при x^1:
   2a_2 + 4a_0 a_1 = 1.
   Поскольку a_0 = 0, то:
   2a_2 = 1, \, a_2 = \frac{1}{2}.

3. Коэффициент при x^2:
   3a_3 + 4a_0 a_2 + 2a_1^2 = \frac{1}{2}.
   Подставим a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = \frac{1}{2}:
   3a_3 + 2 \cdot 1^2 = \frac{1}{2},
   3a_3 + 2 = \frac{1}{2},
   3a_3 = -\frac{3}{2}, \, a_3 = -\frac{1}{2}.

Ответ

Три первых отличных от нуля члена разложения:
y(x) = x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2} + \dots.