Найти точки экстремума функцииz = 3x^3 + 3y^3 -9xy + 10

Конечно, я помогу! Задание относится к предмету "математический анализ", а именно к разделу "исследование функций на экстремумы".

Для поиска точек экстремума функции нескольких переменных, необходимо:

1. Найти частные производные функции по переменным \(x\) и \(y\).
2. Решить систему уравнений, приравняв обе частные производные к нулю.
3. Исследовать вторые частные производные, чтобы убедиться, что найденные точки являются точками экстремума.

Давайте рассмотрим функцию:

\[ z = 3x^3 + 3y^3 - 9xy + 10 \]

1. Найдем частные производные функции \(z\) по переменным \(x\) и \(y\):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3 + 3y^3 - 9xy + 10) \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 9x^2 - 9y \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^3 + 3y^3 - 9xy + 10) \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 9y^2 - 9x \]

2. Приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \] \[ 9x^2 - 9y = 0 \] \[ x^2 - y = 0 \] \[ y = x^2 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \] \[ 9y^2 - 9x = 0 \] \[ y^2 = x \] \[ y = \sqrt{x} \quad \text{или} \quad y = -\sqrt{x} \]

Теперь есть две системы уравнений для решения:

1. \(y = x^2\)
2. \(y = \sqrt{x}\) или \(y = -\sqrt{x}\)

Первая система:

\[ y = x^2 \] \[ y = \sqrt{x} \] Так как \( y = x^2 \) и \( y = \sqrt{x} \), это означает, что \( x^2 = \sqrt{x} \). Решим это уравнение для \(x\): \[ x^4 = x \] \[ x^4 - x = 0 \] \[ x(x^3 - 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^3 = 1 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 \] Для \( x = 0 \): \[ y = 0^2 = 0 \] Когда \( x = 0 \), то \( y = 0 \). Получаем точку \( (0, 0) \). Для \( x = 1 \): \[ y = 1^2 = 1 \] Когда \( x = 1 \), то \( y = 1 \). Получаем точку \( (1, 1) \).

Теперь рассмотрим вторую систему:

В этом случае не нужно решать, так как изначально \(y = x^2\) нам дали полный вариант для случаев \(x \ge 0\).

3. Проверим характер найденных точек:

Для проверки мы используем вторые частные производные. Вычислим их:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 18x \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 18y \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(9x^2 - 9y) = -9 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(9y^2 - 9x) = -9 \] Определитель гессиана: \[ D = \left| \begin{matrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{matrix} \right| \] \[ D = \left| \begin{matrix} 18x & -9 \\ -9 & 18y \end{matrix} \right| \] \[ D = 18x \cdot 18y - (-9)^2 \] \[ D = 324xy - 81 \] Для точки \( (0, 0) \): \[ D = 324 \cdot 0 \cdot 0 - 81 = -81 \] Определитель отрицательный, \( (0, 0) \) является седловой точкой. Для точки \( (1, 1) \): \[ D = 324 \cdot 1 \cdot 1 - 81 = 324 - 81 = 243 \] Определитель положительный. Так как \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} (1,1) = 18 > 0 \), точка \( (1, 1) \) является точкой минимума. Итак, точка экстремума функции \( z = 3x^3 + 3y^3 -9xy + 10 \) является: - \( (1, 1) \) — точка минимума. - \( (0, 0) \) — седловая точка.